Рис. 34а
«Замечание. В Кавендишской лаборатории есть спроектированное Максвеллом устройство (модель), очень наглядно иллюстрирующее законы индукции токов. Оно воспроизведено на рис. 34, а. Буквами 𝑃 и 𝑄 отмечены диски; вращение диска 𝑃 моделирует первичный ток, вращение диска 𝑄 - вторичный. Эти диски связаны между собой шестерёнчатым дифференциалом. Промежуточная шестерёнка несёт на себе маховик, момент инерции которого можно регулировать, перемещая грузы к центру или на периферию. Сопротивление во вторичном контуре моделируется с помощью струны, перекинутой через диск 𝑄 и накрепко привязанной к эластичной ленте. Когда диск 𝑃 начинают вращать (т.е. ток начинает течь в первичной цепи), диск 𝑄 будет поворачиваться в противоположную сторону (что эквивалентно появлению обратного тока при включении первичного). Когда же скорость вращения 𝑃 установится постоянной, диск 𝑄 будет неподвижен (при постоянном токе в первичной цепи ток во вторичной отсутствует); при остановке диска 𝑃 диск 𝑄 начинает вращаться в том же направлении, в котором раньше вращался диск 𝑃 (возникновение прямого тока во вторичной цепи при размыкании первичной). Влияние железного сердечника, приводящего к увеличению индукции, может быть продемонстрировано путём увеличения момента инерции маховика».
603. К п. 603 имеется важное дополнение Д. Д. Томсона. Как известно, Максвелл не написал в трактате всех уравнений электромагнитного поля (которые в наше время известны как уравнения Максвелла), см. более подробно послесловие. Добавление Д. Д. Томсона (сделанное со ссылкой на Хевисайда) сводится к тому, что можно записать замкнутую систему уравнений для полей 𝐄, 𝐇 и 𝐁; на полусовременном языке это добавление можно сформулировать следующим образом.
Для замкнутых «истинных» токов (под «истинным» током понимается сумма токов проводимости и смещения) можно описать электрическое поле уравнением
rot 𝐄
=-
1
𝑐
∂𝐁
∂𝑡
,
которое вместе с уравнением
rot 𝐇
=
4π
𝑐
𝗷
ист
,
материальными связями
𝐁
=
μ𝐇
и
𝗷
ист
=
⎛
⎜
⎝
σ
+
ε
4π
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
и граничными условиями полностью определяет «состояние электромагнитного поля».
604. Максвелл считает, что сила со стороны магнитного поля действует на «истинный» ток, складывающийся из тока проводимости и тока смещения. Подробное разъяснение по этому вопросу приведено в послесловии.
631. При выводе выражения (5) для энергии электрического поля Максвелл исходит из соответствующих представлений в электростатике, где электрическая напряжённость потенциальна. Однако, как известно, этот результат сохраняется и для переменных вихревых полей. В этом месте в 3-м издании есть замечание Д. Д. Томсона, аргументирующее справедливость такого обобщения. Оно опущено нами, поскольку окончательное установление выражения для энергии опирается на закон сохранения её (теорему Пойнтинга), т.е. в известной мере содержит элемент постулирования.
632. Приводим комментарий проф. Нивена, извлечённый им из письма Максвелла профессору Кристалу (Chrystal). «В п. 389 энергия, обусловленная магнитом, имеющим составляющие намагниченности 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ и помещённым в магнитное поле с составляющими магнитной силы α₂, β₂, γ₂, принята равной
-
∭
(
𝐴₁α₂
+
𝐵₁β₂
+
𝐶₁γ₂
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где интегрирование ограничено областью магнита в предположении, что 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ обращаются в нуль всюду вне её.
Однако полная энергия записывается в виде
-
1
2
∭
{
(𝐴₁+𝐴₂)
(α₁+α₂)
+…
}
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
причём интегрирование распространяется на все части пространства, где находятся намагниченные тела, и 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂ обозначают составляющие намагниченности в произвольной точке вне магнита.
Таким образом, полная энергия состоит из четырёх частей:
-
1
2
∭
(𝐴₁α₁+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(1)
эта часть постоянна, если намагниченность магнита неизменна;
-
1
2
∭
(𝐴₂α₁+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(2)
эта часть, согласно теореме Грина, равна
-
1
2
∭
(𝐴₁α₂+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(3)
и
-
1
2
∭
(𝐴₂α₂+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(4)
Последнюю часть мы также можем считать возникающей от жёсткой намагниченности и поэтому предполагать постоянной.
Следовательно, изменяемая часть энергии перемещаемого магнита с жёсткой намагниченностью является суммой выражений (2) и (3), а именно
-
1
2
∭
(
𝐴₁α₂
+
𝐵₁β₂
+
𝐶₁γ₂
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Помня, что смещение магнита изменяет значения α₂, β₂, γ₂, но не изменяет 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁, для составляющих силы, действующей на магнит в произвольном направлении φ, найдём
∭
⎛
⎜
⎝
𝐴₁
𝑑α₂
𝑑φ
+
𝐵₁
𝑑β₂
𝑑φ
+
𝐶₁
𝑑γ₂
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Если же вместо магнита мы имеем тело, намагниченное через индукцию, выражение для силы должно быть таким же; поэтому, подставляя 𝐴₁=𝓀α,…, получим
∭
𝓀
⎛
⎜
⎝
α
𝑑α₂
𝑑φ
+
β
𝑑β₂
𝑑φ
+
γ
𝑑γ₂
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
В этом выражении нужно положить α=α₁,α₂,…, но, если намагниченное тело мало или мала величина 𝓀, мы можем пренебречь α₁ по сравнению с α₂ и получить выражение для силы, совпадающее с приведённым в п. 440:
𝑑
𝑑φ
1
2
∭
𝓀
(
α²
+
β²
+
γ²
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Работа, совершаемая магнитными силами при уносе тела в бесконечность в случае, когда оно обладает небольшой индуктивной способностью и является намагниченным по индукции, равна только половине работы в случае такого же тела с такой же, но заданной жёсткой намагниченностью, поскольку индуцированный магнит теряет свою намагниченность по мере уноса его в бесконечность».
659. Со ссылкой на статью Максвелла (Royal Soc. Proc., XX, p. 160-168, см. также The Scientific Papers of J. C. Maxwell, vol. II, art. XLIX, p. 294) Нивен поясняет, что любое другое решение задачи отличается от приведённого в тексте системой замкнутых токов, зависящей от начальных условий, а не от каких-то внешних причин. Эта система токов быстро затухает; поэтому, если постулировать достаточную удалённость в прошлое начальных условий, приведённое в тексте решение будет единственным.