=
𝑉⋅𝔊𝔅
-
𝔄̇
-
∇Ψ
,
𝐄
=
1
𝑐
𝐮×𝐁
-
1
𝑐
∂𝐀
∂𝑡
-
∇ψ
(B)
𝐄 - напряжённость электрического поля, φ - скалярный потенциал (электрический), 𝐮 - скорость контура или системы отсчёта, 𝑐 - скорость света в вакууме.
Уравнение для механической силы
𝔉
=
𝑉⋅ℭ𝔅
+
𝑒𝔈
-
𝑚∇
Ω
,
𝐟
=
1
𝑐
𝐣
𝑒
пол
×𝐁
+
ρ
𝑒
𝐄
-
ρ
𝑚
∇Ψ
,
(C)
𝐟 - объёмная плотность силы, 𝐣𝑒пол=𝐣𝑒пр+𝐣𝑒см - плотность полного (истинного электрического тока, 𝐣𝑒пр - плотность тока проводимости, 𝐣𝑒см - плотность тока смещения, ρ𝑒 - плотность электрического заряда, ρ𝑚 - плотность магнитного заряда, Ψ - скалярный потенциал (магнитный).
Уравнение для намагничения
𝔅
=
ℌ
+
4π𝔍
,
𝐁
=
𝐇
+
4π𝐌
,
(D)
𝐁 - магнитная индукция, 𝐇 - напряжённость магнитного поля, 𝐌 - вектор намагничения.
Уравнение для электрических токов
4πℭ
=
𝑉⋅∇ℌ
,
4π
𝑐
𝐣
𝑒
пол
×𝐁
=
∇×𝐇
=
rot 𝐇
.
(E)
Уравнение для токов проводимости
𝔎
=
𝑐𝔈
,
𝐣
𝑒
пр
×𝐁
=
σ𝐄
,
(G)
σ - проводимость среды.
Уравнение для электрического смещения
𝔇
=
1
4π
𝓀𝔈
,
𝐃
=
ε𝐄
,
(α)
ε диэлектрическая проницаемость.
Уравнение для истинного тока
ℭ
=
𝔎+𝔇
=
⎛
⎜
⎝
𝑐
+
1
4π
𝓀
⎞
⎟
⎠
𝔈
,
𝐣
𝑒
пол
×𝐁
=
𝐣
𝑒
пр
×𝐁
+
𝐣
𝑒
см
×𝐁
=
⎛
⎜
⎝
σ
+
ε
4π
∂
∂𝑡
⎞
⎟
⎠
𝐄
.
(H),(I)
Уравнение для электрической объёмной плотности
𝔢
=
𝑆⋅∇𝔇
,
4πρ
𝑒
=
∇⋅𝐃
=
div 𝐃
.
(J)
Уравнение для электрической поверхностной плотности ρ𝑒пов
4πρ
𝑒
пов
=
𝐧₁₂
×
(𝐃₂-𝐃₁)
,
(K)
𝐧₁₂ - нормаль к поверхности из среды 1 в среду 2.
Уравнение для намагничения
𝔅
=
μℌ
,
𝐁
=
μ𝐇
,
(L)
μ - магнитная проницаемость.
Уравнение для магнитной плотности
𝔪
=
𝑆⋅∇𝔍
ρ
𝑚
=
-div 𝐌
=
-∇⋅𝐌
.
(β)
Уравнение для магнитной силы (когда rot 𝐇=0)
ℌ
=
-∇
Ω
,
𝐇
=
-∇Ψ
.
(γ)
Итак, перед нами совокупность сводных уравнений (А) - (γ), и мы в состоянии оценить их совершенство и правильность с позиций нашего понимания. Вообще говоря, она отличается от системы, впоследствии канонизированной как система уравнений Максвелла. Но за малыми исключениями отличия скорее методические, а не принципиальные. Прежде всего совокупность (А) - (γ) по-другому организована; и в этом, и в некоторых её деталях ещё проглядываются следы моделей, принимавших участие в процессе поиска. Это те самые строительные леса, отмеченные ранее Максвеллом - с признательностью за оставление их - в трудах Фарадея, и выходит, что не по недосмотру сохранённые теперь им самим. Кроме того, при перегруженности системы (А) - (γ) в ней есть известная незавершённость: в частности, не проведено несколько «напрашивающихся» обобщений, даже из числа уже подготовленных и обсуждённых в тексте. И мы обязаны Дж. Дж. Томсону, Г. Герцу, О. Хевисайду и X. Лоренцу тем, что именно они оказались доброжелательно вдумчивыми последователями, сумевшими первыми осознать непреходящее значение этих уравнений и довести их до того общего по смыслу и изящного по форме состояния, которое в наше время принимается за образец физической теории.
Опуская промежуточные этапы и мотивировки действий, приведём систему уравнений Максвелла в её усовершенствованном представлении. Потом были предложены, возможно, более удачные (в отношении компоновки, объединения, обобщений, классификации по типам симметрии и инвариантности и т. п.) варианты записи [12], но данная форма (лишь слегка подправленная позже) остаётся и по сей день одной из наиболее употребительных:
rot 𝐇
=
4π
𝑐
𝐣
𝑒
пр
1
𝑐
∂𝐃
∂𝑡
,
(1)
rot 𝐄
=-
1
𝑐
∂𝐁
∂𝑡
,
(2)
div 𝐁
=
0
,
(3)
div 𝐃
=
4πρ
𝑒
,
(4)
𝐃
=
ε𝐄
,
𝐁
=
μ𝐇
,
𝐣
𝑒
=
σ𝐄
𝑒
,
(5)
𝐟
мех
=
ρ
𝑒
𝐄
+
1
𝑐
𝐣
𝑒
пр
×
𝐁
.
(6)
Причём даже порядок расстановки уравнений настолько прижился, что в «определённых кругах» (кастовость тут тоже регламентируется научным происхождением) часто говорят, «как следует из первого, второго и т.д. уравнения Максвелла», считая, видимо, перенумерацию отступничеством от Заветов Учителя, хотя легко усмотреть из сравнения (А) - (γ) с (1) - (6), что всё это дело рук Апостолов, а не Его самого.
Сейчас принимается такая классификация. Уравнения (1)- (4) - собственно уравнения электромагнитного поля. Уравнения (5) - материальные уравнения (в их простейшей разновидности - линейная изотропная среда с локальными и мгновенными взаимодействиями - без дисперсии). Сторонние поля 𝐄стор могут быть включены в (5) или вставлены прямо в (1) - (4). Уравнение (6) выражает силу, действующую на свободные заряды и токи; через него осуществляется метрологическая связь с полями другой природы (механикой, гравитацией). Иногда (6) заменяется законом сохранения энергии, но тогда приходится делать оговорки, преждевременные на стадии постулирования общих законов движения.