Ω
=
∬
1
𝑟²
φ
cos θ
𝑑𝑆
,
и обозначить через Ω1 значение Ω в точке, непосредственно находящейся на поверхности, а Ω2 - значение Ω в точке, близкой к первой, но вне поверхности, то
Ω
2
=
Ω
1
+
4π(φ)
,
или
𝑉
2
=
𝑉
1
.
Величина ω не является непрерывной на поверхности магнита.
Составляющие магнитной индукции связаны с Ω уравнениями
𝑎
=
-
𝑑Ω
𝑑𝑥
,
𝑏
=
-
𝑑Ω
𝑑𝑦
,
𝑐
=
-
𝑑Ω
𝑑𝑧
.
416. В случае ламеллярного распределения магнетизма мы можем упростить также и вектор-потенциал магнитной индукции.
Его 𝑥-составляющую можно записать:
𝐹
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑φ
𝑑𝑦
𝑑𝑝
𝑑𝑧
-
𝑑φ
𝑑𝑧
𝑑𝑝
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Интегрируя по частям, мы можем представить это в виде поверхностного интеграла:
𝐹
=
∬
φ
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑑𝑝
𝑑𝑧
-
𝑛
𝑑𝑝
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
,
или
𝐹
=
-
∬
𝑝
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑑φ
𝑑𝑧
-
𝑛
𝑑φ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
.
Остальные составляющие вектор-потенциала можно получить, сделав соответствующие замены в этих выражениях.
О телесных углах
417. Мы уже доказали, что потенциал, создаваемый магнитной оболочкой в произвольной точке 𝑃, равен мощности оболочки, умноженной на телесный угол, опирающийся на её край. Поскольку нам придётся ещё раз обратиться к телесным углам в теории электрических токов, мы сейчас объясним, как их можно измерять.
Определение. Телесный угол с вершиной в данной точке, опирающийся на замкнутую кривую, измеряется площадью сферической поверхности единичного радиуса с центром в данной точке, границей которой служит след пересечения сферы с радиус-вектором при его движении по замкнутой кривой. Эта площадь должна считаться положительной или отрицательной в соответствии с тем, лежит ли она по левую или по правую сторону относительно движения радиус-вектора, видимого из данной точки.
Обозначим заданную точку через (ξ,η,ζ) а точку на замкнутой кривой через (𝑥,𝑦,𝑧). Координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются функциями длины кривой 𝑠, отсчитываемой от некоторой точки, причём периодическими функциями 𝑠, восстанавливающими свои значения при увеличении 𝑠 на полную длину замкнутой кривой.
Мы можем вычислить телесный угол непосредственно из его определения следующим образом. Используя сферические координаты с центром в (ξ,η,ζ) и полагая
𝑥-ξ
=
𝑟
sin θ
cos φ
,
𝑦-η
=
𝑟
sin θ
sin φ
,
𝑧-ζ
=
𝑟
cos θ
,
найдём путём интегрирования площадь внутри произвольной кривой на сфере:
ω
=
∫
(1-cos θ)
𝑑φ
,
или в прямоугольных координатах
ω
=
∫
𝑑φ
-
𝑠
∫
0
𝑧-ξ
𝑟{(𝑥-ξ)²+(𝑦-η)²}
⎡
⎢
⎣
(𝑥-ξ)
𝑑𝑦
𝑑𝑠
-
(𝑦-η)
𝑑𝑥
𝑑𝑠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑠
,
где интегрирование производится по замкнутой кривой 𝑠.
Если ось 𝑧 проходит один раз сквозь замкнутую кривую, то первый член равен 2π. Если же ось 𝑧 не проходит сквозь неё, первый член равен нулю.
418. Этот метод вычисления телесного угла содержит произвольный до некоторой степени выбор оси и не зависит только лишь от вида замкнутой кривой. Поэтому для геометрической строгости уместно предложить следующий метод, в котором не предусматривается построение никаких поверхностей. Пусть по мере того как радиус-вектор, выходящий из данной точки, описывает замкнутую кривую, плоскость, проходящая через эту точку, катится по замкнутой кривой таким образом, что последовательно становится касательной плоскостью в каждой точке кривой. Проведём из данной точки перпендикулярно этой плоскости отрезок единичной длины. При качении плоскости по замкнутой кривой конец перпендикуляра описывает вторую замкнутую кривую, полярную по отношению к первой. Пусть её длина равна σ, тогда телесный угол, опирающийся на первую кривую, будет равен ω=2π-σ.
Это следует из хорошо известной теоремы о том, что площадь, ограниченная замкнутой кривой на сфере единичного радиуса, вместе с периметром полярной кривой численно равны длине большой окружности сферы.
Такое построение удобно иногда для вычисления телесного угла, опирающегося на контур, составленный из отрезков прямых. Для нашей цели, которая состоит в формировании ясных представлений о физических явлениях, более предпочтителен метод, излагаемый далее, поскольку в нём не используется никаких построений, не вытекающих непосредственно из физических данных о проблеме.
419. Замкнутая кривая 𝑠 задана в пространстве, и мы должны найти телесный угол с вершиной в точке 𝑃, опирающийся на 𝑠.
Если рассматривать телесный угол как потенциал магнитной оболочки, край которой совпадает с замкнутой кривой и мощность которой равна единице, мы должны определить этот угол как работу, совершаемую единичным магнитным полюсом против магнитной силы при его перемещении из бесконечности в точку 𝑃. Следовательно, потенциал должен быть результатом криволинейного интегрирования вдоль пути σ, по которому полюс приближается к точке 𝑃. Но он также должен быть результатом криволинейного интегрирования по замкнутой кривой 𝑠. Поэтому соответствующее выражение для телесного угла должно иметь вид двойного интеграла по двум кривым 𝑠 и σ.
Когда точка 𝑃 находится на бесконечном расстоянии, телесный угол, очевидно, равен нулю. По мере приближения точки 𝑃 замкнутая кривая, если смотреть на неё из движущейся точки, будет казаться раскрывающейся, и можно представлять себе, что полный телесный угол образуется в результате кажущегося перемещения различных элементов замкнутой кривой по мере приближения к ней движущейся точки 𝑃.
Рис. 3
При движении точки 𝑃 от 𝑃 к 𝑃' вдоль элемента 𝑑σ элемент замкнутой кривой 𝑄𝑄', который мы обозначим через 𝑑σ, будет изменять своё положение относительно 𝑃, и линия на единичной сфере, соответствующая 𝑄𝑄', прочертит на сферической поверхности некоторую площадь, которую можно записать так [рис. 3]:
𝑑ω
=
Π
𝑑𝑠
𝑑σ
.
(1)