«Но поскольку приходится рассматривать начала искусств и наук применительно к данному периоду, мы говорим, что согласно свидетельству наибольшего числа исследователей геометрия впервые открыта у египтян и возникла она от измерения земельных участков, [...] как точное знание о числе возникло у финикийцев благодаря торговле и обмену. [...] Фалес, посетивший Египет, перенес в Элладу этот вид научного рассмотрения. [...] После них Пифагор перевел любовь к геометрической мудрости в разряд общеобразовательных дисциплин. [...] За ними в геометрии прославились Гиппократ Хиосский, открывший квадрируемые луночки, и Феодор Киренский, [...] Платон, стараниями которого геометрия — как и остальные науки — получила величайшее развитие. [...] Евдокс Книдский был... дружен с окружением Платона».
Математики, которые, по мнению Прокла, являются предшественниками Евклида
Имя
Цитата из Прокла
Сведения из разных книг «Начал», которые предположительно были им известны
Фалес Милетский
Первым перенес в Элладу эту теорию. Многое открыл сам, а для многого указал путь последователям, представив одно более общим способом, другое — более наглядным.
Определение 17 из книги 1, предложения 5,15, 26 и, возможно, 32. Предложение 12 из книги III.
Пифагор
Преобразовал доктрину в разряд общеобразовательных дисциплин. Рассмотрел принципы геометрии с самого начала. Исследовал теоремы умозрительно, открыл иррациональные величины и строение космических тел.
Книга 1: определения 1, 3 и 6; общее понятие 5; предложения 2,17, 32, 36, 37, 45 и 47.
Книга II: предложения 14 и 20.
Книга III: предложения 11 и 14.
Книга IV: предложения 11,12 и 15.
Книга VI: предложения 25, 28, 29 и 31.
Книга VII: определения 3, 4, 5,11 и 13.
Энопид
Касался многих геометрических вопросов и многим дал наилучшее решение с использованием линейки и циркуля.
Книга 1: постулаты 1, 2 и 3, предложения 12 и 23.
Гиппократ
Открыл квадрируемые луночки. Написал свои «Начала». Использовал метод сведения в задаче об удвоении куба.
Книга 1: предложения 9,10,11, 12,18,19, 20, 23, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 45 и 47.
Книга II: предложения 6,12,13 и 14.
Книга III: определение 11; предложения 3, 20, 21, 22, 26, 27, 28, 29, 30 и 31.
Книга IV: предложения 5, 9,15.
Книга VI: предложения 19 и 20.
Книга VII: предложение 2. Книга
XIII: предложение 12.
Феодор
Знаменитый геометр.
Результаты книги II или 1, предложение 47.
Платон
Математические науки получили его стараниями величайшее развитие. Его математические рассуждения пробуждают восторг в философах всех времен.
Ледамант, Архит и Теэтет
Жили в одно время с Платоном. Благодаря им появились новые теоремы и геометрия стала более научной.
Результаты книг X и XIII.
Леонт
Составил свои «Начала» и нашел условия, при каких некоторые задачи могут быть разрешены и при каких нет.
Евдокс
Увеличил число так называемых общих теорем и, воспользовавшись результатами Платона о сечениях, разработал множество их видов.
Книга V:определения 4 и 5 и общие предложения.
Книга X: предложения 1 и 2.
Книга XII: предложения 5,6, 7 и 10.
Менехм и Динострат
Первый был учеником Евдокса, второй известен как его брат. Сделали геометрию еще более совершенной.
Филипп из Менде
Работал под руководством Платона. С ним геометрия достигла зрелости.
Сочинение Прокла написано под явным влиянием «Истории геометрии» Евдема Родосского и неоплатонизма. В нем не указаны имена астрономов — последователей Евдокса, не упоминаются перипатетики и сам Аристотель, а также Аристей Старший, который, возможно, был отцом учения о конических сечениях и геометрических местах. В нем нет Гиппаса из Метапонта и Филолая, нет софистов Антифонта, Брисона и Гиппия Элидского, нет атомистов Парменида, Зенона и Демокрита и даже Автолика Питанского, наконец, в комментариях не сказано ни слова об ученых-арифметиках. И все же этот текст заслуживает пристального внимания.
Фалесу и Пифагору различные авторы приписывают одни и те же достижения, а в случае с Гиппократом мы опираемся на свидетельство римлянина Симпликия, в свою очередь ссылающегося на «Историю геометрии» Евдема.
ГЛАВА 2
Структура «Начал»
Не меньшее значение, чем содержание, имеет структура «Начал»: Евклид отталкивается от краткого списка гипотез и переходит к дедуктивному доказательству многочисленных предложений. Такой подход сообщает этому произведению основательность, кажущуюся непогрешимой. Однако этот крепкий фундамент евклидового здания состоит в том числе и из кирпичиков общих представлений о математике, восходящих к философии Платона и Аристотеля.
«Начала» являются прямым наследием философии Платона и Аристотеля. По Платону, материальные объекты также являются идеальными, то есть существуют в мире идей. Аристотель возражал против этого, и можно утверждать, что текст Евклида написан под влиянием Аристотеля. И все же платоновская философия математики особо изучалась в Академии, о чем свидетельствует надпись над входом: «Да не войдет сюда не знающий геометрии».
Мы же ограничимся комментарием к аналогии разделенной линии, о которой Платон пишет в шестой книге «Государства» (см. схему на следующей странице). Существуют три воплощения предмета «кровать»: «кровать, созданная Богом», «кровать, сделанная плотником» и «кровать, нарисованная художником». «Бог, — говорит Платон, — желая быть истинным создателем истинно существующей кровати, [...] создал ее по природе своей единственной». Плотник же делает копии. А художник копирует плотника, но не «настоящую кровать».
В этом примере затрагивается вопрос существования, один из основных в платоновской философии, поскольку, по Платону, невозможно от эпистемологии (то есть знания или познания) перейти к онтологии (реальности, являющейся предметом познания). Он задается следующими вопросами: все ли кровати реальны, или же только некоторые, или ни одна? Что мы подразумеваем под «реальным», точнее, о какой реальности мы говорим, когда утверждаем, что научное знание состоит в «истинном познании реальности»? Если мы сузим вопрос до области математики, то как надо понимать математические объекты (вопрос эпистемологического характера) и что мы можем сказать об их существовании (проблема онтологического характера)?
По Платону, есть две реальности: реальность умопостигаемого мира идей, которую можно познать истинным знанием, и зримая реальность окружающего нас мира, о которой можно иметь лишь мнение. Приводя аналогию с разделенной линией, философ говорит об умопостигаемом, имея в виду, что мы можем понять только верхний уровень линии, неизменный уровень идей, нижний же отрезок относится к изменчивому миру, и о нем мы можем только составить мнение.