Значит ли это, что выражение "непротиворечивое множество аксиом" равносильно "множеству истинных аксиом"? Это тонкий вопрос, который заслуживает тщательного анализа.
Начнем с вопроса, является ли высказывание "2 — простое число" истинным. Почти любой человек сразу же скажет, что его истинность очевидна. Однако более правильным ответом будет "когда как". Это зависит от Вселенной, в контексте которой мы сейчас работаем. Если подразумевается, что речь идет о натуральных числах, то высказывание действительно истинно, но в другом контексте оно может быть ложным.
Вспомним, что число (отличное от единицы) является простым, если делится только на единицу и само на себя. Можно выразить это понятие по-другому: 2 — простое число, поскольку единственный способ представить его в виде произведения двух чисел тривиален: 2 = 2 x 1 (запись 2 = 1 x 2 считается совпадающей с ней, так как в ней используются те же числа). А вот число 15 не является простым, поскольку его можно представить, помимо тривиального способа 15 = 1 х 15, также как 15 = = 3 x 5.
Но точно ли единственный способ записать число 2 в виде произведения — это 2 = 2 х 1? В мире натуральных чисел — да. Но существуют и другие миры.
Расширим наш числовой мир и включим в него все числа, которые получаются умножением √2 на натуральное число (и на нуль), а затем прибавлением другого натурального числа (или нуля). Например, этот мир содержит числа 3 + 4 √2 или 7 √2. Также в нем содержится само число √2, которое записывается как 0+1 √2, и все натуральные числа, которые могут быть записаны как:
1 = 1 + 0 √2
2 = 2 + 0 √2
3 = 3 + 0 √2.
Итак, в этом мире 2 — не простое число, поскольку может быть записано как 2 = √2 х √2. Высказывание "2 — простое число" верно среди натуральных чисел, но ложно в мире, который мы определили по-другому (см. схему).
Какова связь между непротиворечивостью и истинностью? Ответ дан теоремой Лёвенгейма — Скулема (доказанной в 1915 году Леопольдом Лёвенгеймом для частного случая и в 1920 году Туральфом Скулемом для общего случая): множество аксиом является непротиворечивым, если существует какой-нибудь мир, в котором все аксиомы являются истинными высказываниями. Следовательно, множество, образованное двумя аксиомами:
непротиворечиво, поскольку существует мир, в котором обе аксиомы одновременно истинны. С синтаксической точки зрения это означает, что не существует такого высказывания Р, что Р и не-Р доказуемы на основе этих двух предпосылок одновременно.
Для любого х справедливо, что х + 0 = х; 2 не является простым числом
Но можем ли мы принять "2 не является простым числом" за аксиому? Не должны ли аксиомы быть очевидными сами по себе? В чисто синтаксическом мире, в котором истинности и ложности не существует, нет смысла говорить об очевидных высказываниях. Любое из них может быть взято за аксиому. Почему основополагающей является непротиворечивость? Что произойдет, если множество аксиом будет противоречивым? С семантической точки зрения это означает, что нет ни одного возможного мира, в котором все высказывания одновременно истинны. Но у противоречивости системы аксиом есть и синтаксическое следствие, поскольку если множество аксиом противоречиво, то на его основе можно доказать любое высказывание.
Предположим, что существует некое высказывание Р такое, что множество аксиом позволяет доказать как Р, так и не-Р, и возьмем любое высказывание Q. Мы хотим доказать, что Q доказуемо. Для этого вспомним несколько правил логики:
а) из "Р" всегда выводится "не-Q => Р";
б) из "не-Q => Р" выводится "не-Р => Q";
в) из "Р" и "Р ^ Q" выводится "Q" (это правило вывода, modus ponens).
Заметим, что все они сформулированы синтаксически и апеллируют к форме высказываний, а не к их значению. Предположим, как мы сказали, что Р и не-Р доказуемы. Получается следующее.
1. Р доказуемо, по гипотезе.
2. Выводится, что "не-<2=" Р" доказуемо, по правилу "а".
3. Следовательно, "не-Р=> Q" доказуемо, по правилу "б".
4. Не-P доказуемо, по гипотезе.
5. Из не-Р (пункт 4) и "не-Р =" Q" (пункт 3), по правилу вывода, выводится Q.
6. Следовательно, Q доказуемо.
Поскольку Q было произвольным высказыванием, можно сделать вывод, что любое высказывание доказуемо на основе аксиом. То есть любое высказывание доказуемо на основе противоречивого множества аксиом.
Заметим, что проделанные нами рассуждения чисто синтаксические и не затрагивают ни значения Р или Q, ни таких семантических понятий, как "истинно" или "ложно". Мы основывались только на синтаксических правилах логики и на виде высказываний. Таким типом аргументов Гёдель воспользовался для изложения доказательства своей теоремы.