Для получения первого знака после запятой числа мы берем первую цифру диагонали и прибавляем к ней 1 (если бы это было 9, взяли бы 0). В примере наше первое число диагонали — 3, так что наше число будет начинаться с 0,4.
Для получения второго знака после запятой числа мы прибавляем 1 ко второму числу диагонали (если это 9, берем 0). Для третьего знака после запятой мы пользуемся третьим числом диагонали и так далее. В нашем примере искомое число начинается с 0,41162...
Число, которое мы только что вычислили, не назначено никакому натуральному числу. Оно не может быть назначено первому числу, потому что они отличаются первым знаком после запятой. Также оно не может быть назначено второму числу, потому что они отличаются вторым знаком после запятой. Также оно не может быть назначено третьему числу, потому что они отличаются третьим знаком после запятой, и так далее.
Поскольку существует число, которое избежало назначения, наш пример не может представлять собой биективного соответствия между N и R. Любая попытка такое соответствие определить провалится по описанной причине, следовательно, мы не можем утверждать, что у множеств N и R одно кардинальное число.
Кардинальное число действительных чисел больше, чем кардинальное число натуральных. Кантор доказал это в 1873 году и сразу же задался вопросом, существует ли некое множество, кардинальное число которого больше N, но меньше R? В течение нескольких лет он предпринял много попыток найти промежуточное множество между N и R, но ему это так и не удалось. В конце концов, в 1877 году он сформулировал гипотезу о том, что промежуточного множества не существует. Она стала известна как континуум-гипотеза: "Не существует такого множества А, что card (N) < card (А) < card (R)".
Пол Джозеф Коэн родился в Лонг- Бренче (Нью-Джерси, США) в 1934 году в семье польских иммигрантов. С самого раннего возраста он демонстрировал экстраординарные математические способности и считался вундеркиндом. Это позволило ему, несмотря на скудные финансы родителей, учиться в лучших школах Нью- Йорка. Коэн получил высшее образование в Чикагском университете, где в 1958 году защитил докторскую диссертацию, в которой обобщал проблему единственности представления периодической функции рядом Фурье (над этой проблемой работал в начале 1870-х Кантор, и она привела его к разработке собственной теории).
Коэн внес значительный вклад в различные области математики, такие как теория чисел, математический анализ и логика. В1966 году на Международном математическом конгрессе в Москве он получил Филдсовскую премию — самую престижную математическую награду — за работу над континуум-гипотезой. Пол Коэн скончался в Калифорнии в марте 2007 года.
Кантор безуспешно пытался доказать ее в течение многих лет. К 1900 году решения все еще не было, и Гильберт поставил эту гипотезу на первое место в списке проблем в своем знаменитом докладе на конгрессе в Париже.
Решение проблемы в том виде, в каком мы знаем его сейчас, было получено в два этапа. Первый был завершен Гёделем в конце 1930-х годов. В 1938 и 1940 годах Гёдель опубликовал две статьи, где вкратце изложил различные аспекты первой части решения, которое детально изложено в курсе, прочитанном в Институте перспективных исследований. Конспекты курса были изданы в форме книги в 1940 году.
Вторую часть решения получил в 1963 году Пол Коэн — американский математик, который также работал в Институте перспективных исследований. Говорят, Коэн первым показал свое решение Гёделю, но когда он пришел к знаменитому коллеге, тот как раз переживал пик маниакально-депрессивного кризиса и не захотел впускать гостя, поэтому ему пришлось просовывать бумаги под дверь. Через несколько дней Гёдель позвонил коллеге и пригласил выпить чаю, из чего Коэн сделал вывод, что его решение верно. И действительно, за эту работу ученый в итоге получил Филдсовскую премию — для математиков она эквивалентна Нобелевской.
Верна ли континуум-гипотеза? Это до сих пор неизвестно, поскольку ответ, найденный Гёделем и Коэном, состоит в том, что ни подтвердить континуум-гипотезу, ни опровергнуть ее невозможно на основе аксиом теории множеств. Если обозначить СН высказывание, в котором говорится, что "не существует множества с кардинальным числом, промежуточным между N и R", то СН для теории множеств — это идеальный пример первой теоремы Гёделя о неполноте: ни оно, ни его отрицание недоказуемы.