Разложение на простые числа всегда единственное, и эта единственность создает более сильную связь между числами и их простыми множителями. Благодаря этому свойства разложения (или факторизации) на простые числа становятся сильнее.
Эдуард Гейне задался вопросом, существует ли подобная связь между периодической функцией и элементарными волнами. Единственное ли это разложение, как это установлено для разложения на простые числа? В 1860-х годах Гейне удалось доказать, что некоторые типы периодических функций (например, не имеющие скачков, то есть непрерывные) можно разложить на элементарные волны единственным образом. Однако он не нашел общего доказательства для всех возможных ситуаций, а также не смог доказать единственности в случае, когда в каждом периоде у функции бесконечное (теоретически) число разрывов. Так что когда Кантор приехал в Галле в 1870 году, Гейне предложил ему поработать над этим вопросом: всегда ли периодическую функцию можно разложить единственным образом, даже если количество разрывов в каждом периоде может неограниченно расти?
Кантор принялся изучать проблему и в 1871 году получил первый результат: разложение периодической функции является единственным, даже когда количество разрывов неограниченно растет, если только эти скачки распределяются определенным образом. То есть для гарантии единственности точки появления скачков должны удовлетворять некоторым специфическим условиям. Но ученый столкнулся со сложностями при выражении этих требований точно и элегантно. Он явно имел интуитивную догадку о том, какие особенности хотел выразить, но у него не получалось ясно сформулировать это.
В 1872 и 1873 годах Кантор постепенно понял, что для четкой формулировки условий следует рассматривать точки разрывов как множества, бесконечные в действительности. Более того, требовалось сравнить между собой различные бесконечные множества, подобно тому как 250 лет назад Галилей сравнил натуральные числа с квадратными (это, в свою очередь, привело к отбрасыванию аристотелевского принципа о том, что целое больше его частей). Кантор также открыл, что такое сравнение приводит к выводу о существовании бесконечных множеств, больших, чем другие бесконечные множества.
Эти идеи были настолько революционными и так противоречили тысячелетиям исследований, что Кантору понадобилось целых десять лет на то, чтобы полностью принять их и признать: в математику необходимо ввести актуальную бесконечность. В конце концов в 1883 году он написал длинную статью под названием «Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном», в которой не только выступал за введение актуальной бесконечности, но и утверждал, что это абсолютно неизбежно. Кантор начал свою статью, почти прося прощения за это решение:
«Изложение моих исследований об изучении множеств достигло того пункта, где развитие его становится зависимым от расширения понятия целого действительного числа за существующие до сих пор границы, и оказывается, что расширение это совершается по такому направлению, в котором, насколько я знаю, никто до сих пор его не искал.
Это расширение понятия числа носит только принудительный характер, и без него я вряд ли смогу сделать свободно хотя бы малейший шаг вперед в учении о множествах; пусть в этом обстоятельстве увидят оправдание или, если необходимо, извинение того, что я ввожу в свое рассмотрение, по-видимому, чужеродные идеи».
Теория множеств, которую упоминает Кантор, была его способом обозначения изучения бесконечных совокупностей как отдельных объектов. Он предложил сделать эту теорию основой математики. Числа, операции с ними и все математические понятия могут быть определены, согласно Кантору, на базе понятий теории множеств.
Множество, согласно определению Кантора, это «собрание целиком объектов действительности или нашей мысли». Например, числа 1, 2, 3, 4, 5,... мы можем объединить в совокупность, которую назовем множеством натуральных чисел. Числа — это элементы, или члены этой совокупности, и множество становится отдельным объектом, доступным для изучения. Мы можем также задумать множество, образованное только числом один, или днями недели, или людьми, родившимися 20 июля 1899 года. Следовательно, теория множеств — это изучение взаимных свойств и отношений множеств, или совокупностей.
Теория [бесконечных] множеств — это область, в которой ничто не очевидно; истинные высказывания ее часто парадоксальны, а предполагаемые высказывания ложны.
Феликс Хаусдорф, немецкий математик, 1914 год
Предложение Кантора заключалось в том, чтобы определить числа и операции с ними на основе множеств. Как это сделать? Например, число 0 может быть определено как количество элементов пустого множества (то есть множества, у которого нет членов). Число 1 может быть определено как количество элементов любого множества, в котором выполняется свойство «во множестве есть некоторый элемент, и, кроме того, если х и y — элементы множества, то х = y».
С другой стороны, в теории множеств существует операция под названием объединение. Если задано два множества, объединение состоит в том, чтобы собрать в новом множестве элементы их обоих. Например, объединение множества, содержащего в качестве элемента город Париж, и множества, содержащего город Рим, — это множество, содержащее оба города одновременно. Сумму чисел можно определить, согласно предложению Кантора, на основе этой операции теории множеств. Если п — это количество элементов одного множества, а т — количество элементов другого множества (которое не содержит общих элементов с первым), то п + т может быть определено как количество элементов результата объединения этих двух множеств.
Как можно было ожидать и, вероятно, как предвидел сам Кантор, теория множеств вызвала большое сопротивление. Его бывший учитель Леопольд Кронекер назвал Кантора совратителем молодежи и воспользовался своим немалым влиянием на немецкие научные журналы, чтобы те не публиковали его работы.
Однако со временем теория множеств и актуальная бесконечность получили признание. Почему это произошло? Может быть, Кантору удалось убедить Кронекера? Чтобы ответить на эти вопросы, стоит вспомнить утверждение Планка: «Новая научная истина побеждает не потому, что ее противники убеждаются в ее правильности и прозревают, а скорее потому, что ее противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери».
Когда Планк писал эти слова, он думал о квантовой механике, но этот принцип можно применить и к теории множеств. В конце XIX века новое поколение математиков, среди которых был Давид Гильберт, начало видеть в теории Кантора важный вклад в науку. Обычно молодежь расположена разрушать традиции, так что, возможно, новое поколение было готово разбить аристотелевское видение бесконечности.
В 1890-м, за год до смерти Кронекера, Кантор был выбран председателем недавно созданного Немецкого математического общества, и его идея считать теорию множеств базой и основанием математики начинала набирать сторонников. Одним из них был немецкий логик Готлоб Фреге.