Напротив, по Лобачевскому, вопрос о том, какие аксиомы или постулаты должны быть приняты в число оснований всей системы доказательств данной науки, определяется отнюдь не априорными формами интуиции. Такие положения геометрии, как постулат Евклида или постулат Лобачевского, отнюдь не безусловно самоочевидны.
Так как аксиомы не обладают безусловной очевидностью, то для решения вопроса о том, какие из небезусловно очевидных положений будут в данной науке доказываться, а какие будут приняты в ней без доказательства, т. е. в качестве аксиом,— необходимо некоторое основание.
Таким основанием не может быть произвол, условное соглашение, субъективная точка зрения. Если в числе оснований данной науки имеются аксиомы, то в такой науке основанием для выбора системы или группы аксиом, входящих в начальные основания науки, являются следующие требования:
1. Выбранная группа аксиом должна представлять группу допущений, между которыми нет противоречий. Другими словами, группа аксиом должна быть такова, чтобы, опираясь на неё, нельзя было доказать суждение и отрицание этого суждения.
2. Выбранная группа аксиом должна быть такова, чтобы из неё (а также из принятых наукой определений) могла быть последовательно выведена вся совокупность теорем данной науки. При этом число аксиом не должно превышать того, какое необходимо и достаточно, чтобы с помощью данной группы аксиом могли быть доказаны все теоремы данной науки.
3. Ни одна из принятых в данной науке аксиом не может быть получена как вывод ни из какой другой аксиомы или других аксиом той же науки, т. е. каждая аксиома должна быть предположением вполне независимым от предположений, выражаемых всеми другими аксиомами данной науки.
Последнее свойство аксиом нуждается в объяснении. Свойство это нельзя понимать так, будто аксиома вообще не может быть выводима ни из каких других положений. Аксиома не может быть выводима из других аксиом только в рамках данной системы науки. Так, 11-я аксиома Евклида (постулат о параллельных) не может быть выведена из других аксиом геометрии Евклида. Именно поэтому все попытки доказать эту аксиому в рамках геометрии Евклида с её аксиомами и постулатами потерпели неудачу.
Но можно взять другую систему или группу аксиом геометрии. Можно выбрать такую группу аксиом, что постулат о параллельных, который в системе геометрии Евклида является независимой аксиомой, будет в этой другой системе теоремой, выводимой из принятых в этой системе аксиом.
Таким образом, аксиоматическое значение некоторых положений науки не есть безусловное свойство этих положений. Разница между аксиомой и теоремой — не безусловная. Положение, которое в одной системе науки будет аксиомой, оказывается теоремой в системе науки с другой совокупностью аксиом. И наоборот: положение, доказываемое в данной системе науки как её теорема, не доказывается, а принимается в качестве аксиомы в системе науки с другой совокупностью аксиом.
В конечном счёте выбор той или другой группы аксиом (или постулатов) в качестве принятой в науке системы оснований её доказательств обусловливается и оправдывается не самоочевидностью этих оснований, а всей суммой результатов, к которым приводят доказательства науки, опирающиеся на принятые аксиомы и постулаты. Только содержательная плодотворность результатов, полученных с помощью принятой в данной системе науки группы аксиом, составляет основание для их выбора. Тем самым выбор оснований для всей системы доказательств науки — выбор аксиом или постулатов — связывается с проверкой этих оснований по их результатам, связывается с материальной практикой, с опытом.
Таким образом, с точки зрения современной логики, опирающейся на данные новейшей науки, аксиомами называются положения, не доказываемые в данной науке и играющие в ней — наряду с определениями основных понятий — роль допускаемых оснований всех доказываемых в науке истин. Роль эту аксиомы играют не в силу своей безусловной очевидности, хотя некоторые аксиомы представляются очевидными, и тем более не в силу своей априорности, так как никаких априорных положений нет ни в какой науке. Аксиомы данной науки выбираются в качестве аксиом. Однако основанием для выбора является не субъективный произвол, не «удобство», не «соглашение», а способность выбранной группы аксиом доказать всю совокупность известных истин науки, оправданных в своих результатах, т. е. в конечном счёте удостоверенных в своей истинности материальной практикой.
То, что в аксиомах не следует видеть истины безусловно недоказуемые, было не раз показано классиками марксизма-ленинизма. Энгельс говорит, что, например, аксиомы математики «доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии»[21]. И точно также Ленин поясняет в конспекте «Науки логики» Гегеля, что фигуры силлогизма могли получить значение аксиом только после того, как значение это было доказано в миллиардах случаев опытом: «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом»[22].