Такова первая часть, или стадия, косвенного апагогического доказательства. Эта первая стадия выявляет ложность сделанного вначале предположения об истинности тезиса, противоречащего доказываемому. Поэтому первая часть косвенного доказательства называется reductio (deductio) ad absurdum, т. e. «приведение к нелепости».
Вторая стадия косвенного апагогического доказательства очень краткая. Предположенный истинным тезис не-p оказался ложным. Но тезис этот— противоречащий по отношению к доказываемому. На основании закона исключённого третьего из ложности суждения необходимо следует истинность противоречащего ему суждения. Поэтому из установленной ложности не-p необходимо следует истинность р, т. е. истинность того самого положения, которое должно было быть доказано.
Такова схема косвенного, апагогического доказательства.
Примером такого доказательства может быть доказательство известного правила первой фигуры простого категорического силлогизма. Согласно этому правилу, меньшая посылка первой фигуры должна быть утвердительной. Доказывается это следующим образом.
Предположим, что меньшая посылка первой фигуры может быть отрицательной, т. е. предположим, что истинен тезис, противоречащий доказываемому. Все остальные условия и правила первой фигуры, доказанные теорией силлогизма в качестве истинных, оставим в силе и, присоединив к ним предположение, будто меньшая посылка может быть отрицательной, посмотрим, какие выводы последуют из всех этих положений.
Если меньшая посылка (S—М) — отрицательная, то, согласно общим правилам силлогизма, заключение (S—Р) также будет отрицательное. Как известно из правил распределённости терминов, в отрицательном суждении предикат всегда распределён. Но предикат заключения является большим термином силлогизма. Согласно общим правилам силлогизма, если больший термин (Р) распределён в заключении, то он должен быть распределённым и в большей посылке. Но в этой посылке больший термин, будучи её предикатом, может быть распределённым только в том случае, если она отрицательна.
Однако (по предположению) меньшая посылка (S—М) тоже отрицательная. Так как, согласно общим правилам силлогизма, отрицательной может быть только одна посылка, то заключение об отрицательности большей посылки — ложно.
Обнаружившаяся ложность заключения может быть обусловлена либо логической ошибкой в выводе, либо ложностью оснований. Однако в данном случае вывод сделан правильно. С другой стороны, все основания, кроме предположения об отрицательности меньшей посылки, представляют собой заведомо истинные и строго доказанные логические правила теории суждения и силлогизма. Отсюда следует, что сделанное вначале предположение об отрицательности меньшей посылки — ложно. А так как ложное предположение об отрицательности меньшей посылки противоречит положению о её положительности, то, согласно закону исключённого третьего, из доказанной ложности предположения об отрицательности меньшей посылки необходимо следует её утвердительность.
Опровержения, так же как и простые доказательства истинности тезиса, могут быть как прямыми, так и косвенными.
Условием прямого опровержения является доказательство истинности положения, противоположного опровергаемому тезису. Из истинности положения, противоположного опровергаемому тезису, на основании закона противоречия следует ложность самого опровергаемого тезиса. При этом истинное положение, противопоставляемое опровергаемому, может быть как противоречащим, так и противным. И действительно: заключение от истинности противопоставляемого положения к ложности опровергаемого делается на основании закона противоречия, который относится не только к противоречащим, но и к противным суждениям.
Если опровергаемое прямым способом положение — общее, то для опровержения его достаточно доказать истинность противоположного ему частного положения. Так, чтобы убедиться в ложности общего суждения о том, что все славянские языки имеют формы склонения имён, достаточно узнать об отсутствии форм склонения, например в именах болгарского языка. Так как противоположность здесь — противоречащая, то из истинности частного будет следовать необходимая ложность общего.