Но если опровергаемое прямым способом положение — частное, то для опровержения его уже недостаточно установить истинность противостоящего ему частного положения. Такая противопоставленность, будучи подпротивной, не допускает применения закона противоречия, а потому, доказав истинность частного положения, противостоящего опровергаемому, мы ещё не получим права заключать о ложности опровергаемого положения — тоже частного. Так, желая доказать ложность частного суждения «некоторые языки являются надстройкой над базисом», мы не можем удовлетвориться доказательством того, что «некоторые языки не являются надстройкой над базисом». Доказательство истинности этого частного положения не позволяет сделать заключение о ложности противостоящего ему частного положения: как подпротивные, оба суждения могут оказаться истинными. В этом случае для доказательства прямым способом ложности частного положения необходимо доказать истинность противоречащего ему общего положения, другими словами, доказать, что «ни один язык не является надстройкой».
Но опровержение может быть и косвенным. Оно совершается посредством уже известного нам приёма «приведения к нелепости» (reductio ad absurdum). Получение нелепого заключения путём вывода, все основания которого, кроме одного, заведомо истинны, и есть косвенное опровержение, т. е. косвенное доказательство посредством закона противоречия ложности того единственного основания, относительно которого не было известно, истинно оно или ложно, и которое только предполагалось истинным.
3. Различие доказательств по роли опытных данных как оснований доказательства
Во всех науках и во всех научных доказательствах все понятия, которые входят в состав доказательства, ведут своё происхождение в конечном счёте из материальной практики, из опыта. В этом отношении не составляют исключения и доказательства математических наук. Правда, понятия, которыми пользуется математик, отвлекаются от целого ряда свойств, принадлежащих предметам этих понятий. Математический круг, куб, шар и т. д. не существуют в опыте в том виде, в каком их мыслит ум геометра. И всё же даже самые отвлечённые понятия математики возникли в конечном счёте из опыта и на основе опыта. Это справедливо и относительно математических определений и относительно аксиом, т. е. недоказываемых положений, принадлежащих к начальным основаниям всего математического знания. Какими бы далёкими от опыта, а иногда даже противоречащими опыту ни казались эти определения и аксиомы,— все они в конце концов являются продуктами отвлечения от известных сторон опыта и не могли сложиться в мысли иначе, как на основе опыта.
Идеалисты отрицают опытное происхождение математических понятий. При этом они опираются на то, что математика мыслит свои предметы — линии, поверхности, тела и т. д.— такими, какими они в точности никогда не бывают в действительности. Математическая линия, например, имеет лишь длину, но не имеет ни ширины, ни высоты, математическое тело есть лишь замкнутая математическими поверхностями часть пространства, мыслимая независимо от наполняющего пространство вещества, и т. д. Опираясь на эту отвлечённость современных математических понятий, идеалисты утверждают, будто понятия эти не могут иметь своим источником опыт и потому являются априорными, т. е. внеопытными и доопытными.
Так, идеалист Кант утверждает, будто «настоящие математические положения всегда суть априорные, а не эмпирические суждения, потому что они обладают необходимостью, которая не может быть заимствована из опыта»[25].
И точно так же идеалист-неокантианец Эрнст Кассирер утверждает, будто тенденция современной науки «всё более и более ведёт к тому, что устраняются «данные» элементы, как таковые, и им не уделяется никакого влияния на общую форму хода доказательства»[26]. «Всякое понятие и всякое положение, которое употребляется в ходе доказательства и не служит просто для целей наглядности, должно быть обосновано строго и выведено целиком из законов конструктивной связи»[27].
Выражаясь проще, математическое понятие есть, согласно взгляду идеалистов, не порождение опыта, а порождение (или построение, «конструкция») ума, отливающееся в априорные формы мысли и возникающее по априорным законам мышления.
26
Эрнст Кассирер. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции, СПБ. 1912, стр. 134.