Учение идеализма о внеопытном и доопытном характере математических понятий совершенно ошибочно. Несостоятельность этого учения была доказана Энгельсом в «Анти-Дюринге». Исходя из того же самого факта — крайней обобщённости и отвлечённости математических понятий,— на котором идеализм всегда строил свою философию математики, Энгельс показал, что правильным объяснением этого факта может быть только материалистическое. «Понятие фигуры, как и понятие числа,— разъяснял Энгельс,— заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло вовсе в голове из чистого мышления. Раньше чем люди могли прийти к понятию фигуры, должны были существовать вещи, которые имели форму и формы которых сравнивали. Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание. Тот факт, что это содержание проявляется в крайне абстрактной форме, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Чтобы изучить эти формы и отношения в их чистом виде, следует их оторвать совершенно от их содержания, устранить его как нечто безразличное для дела. Так получаются точки без протяжения, линии без толщины и ширины, а и Ь, х и у, постоянные и переменные. ..Точно так же выведение математических величин как будто бы друг из друга доказывает не их априорное происхождение, но только их рациональную связь. Прежде чем пришли к мысли выводить форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, нужно было исследовать не мало реальных прямоугольников и цилиндров, хотя бы и в весьма несовершенной форме... как и во всех областях мышления, отвлеченные от действительного мира законы на известной ступени развития отрываются от действительного мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, по которым должен направляться мир... так, а не иначе, применяется впоследствии чистая математика к миру, хотя она и заимствована из этого мира и представляет только часть его составных форм несобственно, только поэтому она вообще применима к нему»[28].
Так обстоит дело с понятиями, определениями и аксиомами математики. Сложнее обстоит дело с доказательствами. Во всех науках, кроме математических, доказательство всегда непосредственно связано с опытом. Это значит, что кроме той связи с опытом, без которой вообще не могло бы существовать никакое понятие, никакая аксиома, в науках этих в состав доказательства всегда входят такие части и такие данные, которые прямо предполагают обращение к опыту: к наблюдению, эксперименту и т. д.
Напротив, в математических науках доказательства (если рассматривать одну логическую их сторону, а не происхождение понятий, входящих в состав доказательств) всегда ведутся таким образом, что в ходе доказательства математику не приходится прямо обращаться к опыту, помимо тех обобщений опыта, которые уже содержатся в его понятиях, определениях и аксиомах. Иными словами, опыт входит в математические доказательства не непосредственно, как он входит в доказательства физика, химика, биолога, но лишь посредством понятий, которые образуются на основе опыта, но в своём содержании являются отвлечёнными по отношению к этому опыту.
Это различие между науками математическими и науками эмпирическими, т. е. доказывающими свои положения при участии прямого обращения к опыту, порождает различие в видах доказательства.
Доказательства математических наук, не требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и опирающиеся на опыт лишь через посредство тех обобщений опыта, которые содержатся в основных понятиях, определениях и аксиомах этих наук, называются математическими доказательствами.
Доказательства наук, необходимо требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и, таким образом, не ограничивающиеся теми обобщениями опыта, которые содержатся в их основных понятиях, называются эмпирическими доказательствами.
Из этих определений и объяснений ясно, что различие между двумя рассматриваемыми видами доказательства состоит вовсе не в том, что доказательства математических наук стоят якобы вне опыта, а доказательства эмпирических наук основываются на опыте. Все доказательства всех наук — математических так же, как и эмпирических,— предполагают опыт в качестве необходимой и последней основы и в качестве критерия истинности всех своих положений.
Различие между этими двумя видами доказательства обусловлено только тем, что в одном случае самим ходом доказательства требуется прямое обращение к данным опыта, в другом же для осуществления доказательства достаточно той связи с опытом, которая дана уже в содержании понятий, входящих в состав доказательства. Из сказанного видно, что различие между математическими и эмпирическими доказательствами — не безусловно. Об этом свидетельствует также и следующее. Ряд наук о природе, доказывающих свои истины при помощи прямого обращения копыту, содержит в себе и такие части, в которых доказательства ведутся по методу математических наук. С другой стороны, и в математических науках математической форме доказательства часто предшествует обоснование, предполагающее прямое обращение к опыту, так что математическая форма доказательства вырабатывается впоследствии уже после того, как истинность доказываемого тезиса стала известной из опыта. Примером такого перехода от найденного в опыте результата к его математическому и дедуктивному по форме обоснованию может быть история определения Архимедом площади параболы.