При рассмотрении множеств Кантор свободно пользовался так называемой абстракцией актуальной бесконечности, позволяющей рассматривать бесконечные совокупности одновременно существующих объектов. Наряду с этой абстракцией в философии с античных времён рассматривалась не столь драматическая идея потенциальной, становящейся бесконечности. Проще всего объяснить имеющееся здесь различие на примере положительных целых чисел. Эти числа возникают в процессе естественного счёта — один, два, три… В каждый момент времени считающий субъект достигает определённого этапа, определённого числа… Идея потенциальной бесконечности, потенциальной осуществимости позволяет отвлечься здесь от ограниченности наших возможностей в пространстве и времени, по существу отвлечься от нашей смертности, и считать, что сколь угодно большие числа (скажем, миллиард миллиардов) могут быть достигнуты в процессе счёта. Но при всём этом в каждый момент времени только определённое число будет достигнуто считающим субъектом, у которого, однако, будет оставаться возможность продолжения счёта. Выражаясь метафорически, за каждым настоящим временем будет оставаться время будущее. Абстракция актуальной бесконечности состоит в гораздо более смелом акте воображения, при котором весь процесс счёта мыслится завершённым, все числа достигнутыми, одновременно существующими, все времена счёта осуществившимися…
Идею потенциальной бесконечности можно связать с оптимистической верой в наше родовое бессмертие: то, что не успею сделать я, сделают дети, ученики, последователи, дети детей, ученики учеников и т. д. С другой стороны, поэты всех времён и народов воспевали бесконечность звёзд в ночном небе. Самого простого акта поэтического воображения достаточно, чтобы воспринимать ряд телеграфных столбов, уходящих за горизонт, или же уходящую за горизонт ленту шоссе, как явления бесконечные, даже если хорошо знаешь, что это шоссе Москва — Симферополь…
Различие между двумя видами бесконечности, очевидно, скорее интеллектуальное, для наших ежедневных дел несущественное. Однако оно имеет огромное практическое значение при построении математики.
Разумеется, возникает вопрос и о природе математических объектов. В каком смысле существует, скажем, множество всех положительных целых чисел, или, гораздо каверзнее, множество всех множеств положительных целых чисел? Кантор занимал здесь радикальную позицию, называемую в сегодняшней философии математики математическим платонизмом[45]. Великий немецкий мыслитель считал, что те же трансфинитные числа не менее реальны, чем звёзды на небе. Предполагается, что имеется некий надсубъективный мир математических объектов, в котором и существуют всевозможные множества. Математические утверждения выражают факты устройства, обстояния вещей в этом мире. Соответственно, любое корректно сформулированное утверждение о математических объектах (скажем, «существует нечётное совершенное число») либо верно, либо нет в том же вечном, от наших соглашений и знаний независимом смысле. Таким образом, приобретают универсальный статус и законы аристотелевской логики, в особенности закон исключённого третьего, формулировкой которого и являлось предыдущее предложение. По известному афоризму, математик не изобретает, но открывает свои теоремы, примерно, как географ-мореплаватель открывает неизвестные острова в океане[46].
Кантор провозглашал нашу способность свободно оперировать с бесконечностью, ничем не ограниченную постигающую и созидающую мощь нашего духа. «Сущность математики — в её свободе», — таков был прекрасный, поэтический лозунг великого математического романтика.
Но у свободы есть, как мы хорошо знаем, цена, и романтика иногда далеко заводит. Надо сказать, что Кантор заплатил страшную цену за прорыв в Бесконечное. Душевное заболевание прогрессировало, всё больше мешало ему работать. Великий мыслитель умер в нервной клинике…
Уже самому Кантору были известны парадоксы теории множеств, попросту говоря, противоречия в ней, возникавшие на её окраинах и связанные именно с неограниченной свободой в образовании самых общих понятий. Положение это, по существу, было нетерпимым — ведь по тем же законам классической, аристотелевской логики, имея противоречие, можно доказать всё, что угодно. Вот пример парадокса, известного Кантору, и показывающего опасность чрезвычайно общих понятий. Кантором была доказана красивая теорема о том, что по всякому множеству можно найти множество большей мощности, содержащее «большее» число элементов[47]. Применение этого результата к множеству всех множеств приводит к немедленному, очевидному противоречию, напоминающему, кстати, парадоксальные ситуации в физике, когда речь идёт о «всей» Вселенной. Наиболее знаменитый из парадоксов был открыт в начале XX века английским философом и математиком Бертраном Расселом (Russel, Bertrand 1872–1970). Интересно, что и в случае парадокса Рассела источником беды являлась именно неограниченная свобода в образовании множеств, чрезвычайная общность этого понятия. Сам же парадокс, в сущности, воспроизводил в рамках теории множеств ситуации, известные с глубокой античности[48].
Теория Множеств Кантора, встретив поначалу серьёзные возражения, постепенно утвердилась в качестве главной методологии математики. Ряд поразительных открытий был сделан на этом пути. Достаточно упомянуть формулировку в 1904 г. немецким математиком Эрнстом Цермело (Zermelo, Ernst 1871–1953) аксиомы, носящей его имя (и называемой также Аксиомой Выбора). Этот принцип чрезвычайно общей природы давно употреблялся в математике, но его не выделяли и не замечали. Между тем, Аксиома Выбора позволила строго доказать совершенно поразительные утверждения. Пожалуй, самым эффектным из них является так называемый парадокс Банаха-Тарского (1920 г.): любой шар можно разбить на конечное число частей, из которых надлежащими перемещениями их в пространстве можно составить два точно таких же шара. Просто чудеса из Библии, но на сей раз в математике! Термин «парадокс» применяется к этой корректно доказанной теореме ввиду невероятности полученного результата. Воистину эти разбиения и «надлежащие» перемещения уже более принадлежат Б-жественной Сущности, чем нашей. Но также сильно чувствуется, что созданы мы по Образу и Подобию, коль скоро способны заметить усилием интеллектуального воображения тени этих «надлежащих» перемещений. Последовавшее изучение природы Аксиомы Выбора и некоторых других принципов теории множеств привело к открытиям, сравнимым по значению с открытием неевклидовой геометрии или теории относительности в физике.
Естественно, что укоренение теории множеств в качестве языка математики вызвало горячие дискуссии ведущих математиков конца 19-го начала 20-го века. Дискуссии эти продолжаются по сей день, что неудивительно, поскольку речь идёт о самом фундаменте математики.
Одной из реакций на открытие противоречий была идея ограничения понятия множества (на что указывал уже сам Кантор), построение аксиоматических систем теории множеств, исключающих известные парадоксы. Большой вклад принадлежит здесь Цермело, разработавшему самую известную аксиоматику теории множеств, и великому немецкому математику Давиду Гильберту (Hilbert, David 1862–1943), выдвинувшему программу обоснования теоретико-множественной математики[49] посредством надёжных, финитных доказательств непротиворечивости, формализующих её аксиоматических систем. Мы не можем здесь углубляться в эту интереснейшую и труднейшую область математики. Заметим лишь, что отсутствие противоречий в этих аксиоматических системах, начиная с формальной арифметики, не доказано и знаменитые результаты Гёделя (Gцdel, Kurt 1906–1978) указывают, что никаких надежд на решающий прогресс в этом направлении нет.
Принципиально другой была реакция математиков, которые не могли согласиться с самими принципами, на которых покоился теоретико-множественный подход. Эти учёные подчёркивали удалённость построений теории множеств от конструктивных, реальных возможностей человека. Таким образом, появились конструктивистские направления в математике, отвергавшие актуальную бесконечность (сомнения в её допустимости восходят к Аристотелю, т. е. к четвёртому веку до нашей эры!), математическую Вселенную Кантора и соответственно универсальный характер закона исключённого третьего. Естественным выводом была необходимость радикальной перестройки практически всего здания математики.
45
По имени античного философа Платона (428 или 427–348 или 347 до н. э.), с идеями которого действительно перекликается мировоззрение Кантора.
46
Если не ошибаюсь, эту мысль высказывал выдающийся немецкий логик, математик и философ Фреге (Gottlog Frege (1848–1925)).
48
Речь идёт о парадоксах, связанных с автореферентностью, когда некоторое понятие определяется в терминах, включающих его самого, или когда некоторое понятие применяется к самому себе. Здесь можно упомянуть парадоксы «лжеца», известные с глубокой древности. Допустим, я произношу фразу: «То, что я сейчас сказал — ложь». Невозможно оценить это высказывание, ни как истинное, ни как ложное. К этому же типу относится известный в античности парадокс «все критяне лжецы» (представим себе, что это говорит критянин). Построение Рассела близко к известному парадоксу брадобрея: «В Севилье живёт цирюльник, который бреет всех тех севильцев, кто сам себя не бреет (и только их); как быть, если ему надо побриться?». Очевидно, такого рода цирюльник не может жить в Севилье, и эта идея лежит в основе так называемого диагонального метода Кантора и многих конструкций в теории алгорифмов. Однако, в случае теории множеств «Севильей» оказывается вся математическая Вселенная, и мы оказываемся перед лицом драматического противоречия. Ср., например, Френкель, Бар-Хиллел, цит. соч., Стефен К. Клини, Введение в метаматематику, иностранная литература, Москва 1957, пер. с англ., стр. 39–42.
49
«Никто не сможет изгнать нас из математического рая, созданного для нас Кантором!» — писал Гильберт (статья «О бесконечном», в книге Д. Гильберт, Основания Геометрии, ОГИЗ, Государственное Издательство Технико-Теоретической Литературы, Москва-Ленинград, 1948, стр. 350, пер. с нем).