Для человека, наблюдающего возникшую острейшую полемику со стороны, самым поразительным могло оказаться невероятное, трагическое различие в понимании истины учёными огромных дарований, безупречной честности и одушевлённых беспредельной любовью к своей науке. И это в Математике, Царице наук, отличающейся по всеобщему мнению особенной, безукоризненной точностью и строгостью! Тут есть о чём задуматься, здесь есть, безусловно, и драматический и литературный материал, ещё ожидающий своего Шекспира. И возникает крамольная мысль: а так ли уж строже, точнее математика, чем, скажем, химия? Интереснейшую статью на эту и многие другие темы написал известный математик и филолог, профессор Московского Университета Владимир Андреевич Успенский[50], с которым я имею счастье быть близко знакомым в течение многих лет.
Вообще, оглядываясь на динамику кризиса оснований математики, можно заметить аналогию с событиями в литературе, искусстве. И там были различного рода реакции на романтизм, порою весьма резкие. Кого только не сбрасывали с кораблей современности. При взгляде с расстояния времени видно, что и сами такие течения (жизнеспособные, художественно значимые из них) обретали собственную романтику…
Лютцен Брауэр
В 20-м веке было три главных конструктивных направления (перечисляю их хронологически): так называемый интуиционизм, основанный голландским математиком Лютценом Брауэром (Brouwer, Luitzen Egbertus Jan 1881–1966), конструктивная математика А.А. Маркова, Мл. и конструктивная математика американского математика Эррета Бишопа (Bishop, Errett 1928–1983).
Все три конструктивных школы разделяли резкую критику платонистской онтологии теоретико-множественной математики (иногда по контрасту с новыми течениями называемой классической). Критика эта, решающая роль в формулировках которой принадлежит Брауэру, в частности отвергала идею актуальной бесконечности, неограниченной применимости законов традиционной логики, особенно закона исключённого третьего, метафизический надсубъективный статус математических объектов. Сами эти объекты рассматривались как результаты интеллектуальной или фактической деятельности человека, а не как нечто существующее вечно и само по себе. Каждое течение развило собственное мировоззрение и строило математику, следуя таковому. При многом общем, имелись существенные философские и конкретные различия. Мы не можем здесь углубляться в эту проблему. Боюсь, я уже отпугнул многих читателей, приоткрыв дверь (или, приподняв крышку ларца Пандоры?) в опасную страну Оснований Математики[51]. Скажу только ещё несколько слов о конструктивной математике Маркова.
Вероятно корни марковского конструктивного мировоззрения лежат в его опыте естествоиспытателя, тяготеющего к осязаемости получаемых результатов, и в общей независимости его личности, не готовой автоматически следовать установившимся канонам, подвергающей их анализу и отклоняющей, если каноны этого анализа не выдерживают.
Объектом изучения в марковской математике являются конструктивные объекты и конструктивные процессы, выполняемые с этими объектами. Для всех реальных целей этой математики вполне достаточно одного общего типа конструктивных объектов — слов в алфавите. При этом, разумеется, принимаются некоторые идеализирующие соглашения, коротко говоря, допускается наша способность опознавать буквы, слова как графически одинаковые или различные. Таким образом, мы можем говорить, например, о букве «а» русского алфавита, отвлекаясь от различий в реальных появлениях этого знака в словах, которые мы пишем или печатаем. Каждый, кто сталкивался с документами, написанными плохим почерком или даже просто с печатными (не говорю уж о рукописных) текстами в готике, понимает, что здесь идёт речь именно об идеализации. С другой стороны, наша способность читать, распознавать графемы лежит в самой основе интеллектуальной деятельности человека. Целые числа, очевидно, можно трактовать как слова в алфавите, который мы видим на клавиатуре нашего компьютера, то же самое можно сказать и о рациональных числах. Скажем, 2/3, очевидно, слово. О том, как распространяется этот подход на «высшую математику», можно прочесть в уже упоминавшейся (примечание 52) моей монографии.
В центре конструктивной математики Маркова находится также точное понятие алгорифма. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что алгорифмы — это компьютерные программы. Сами же компьютеры имеют возможность наращивать по мере необходимости память и потенциально не ограничены во времени выполнения программ. Точные понятия алгорифма были выработаны в математике в тридцатых годах 20-го века, и характерно, что случилось это в недрах именно оснований математики, в ходе работ по преодолению кризиса этих оснований. Андрей Андреевич включился в эту работу сразу после войны, когда и начался его «конструктивный период». Впрочем, в частных беседах А.А. говорил, что имел ясно выраженные «конструктивные» наклонности много раньше. А.А. Маркова, Мл. можно смело считать одним из пионеров теории алгорифмов и компьютерных наук, информатики (Computer Science). Им было предложено одно из ведущих современных точных понятий алгорифма (нормальные алгорифмы Маркова) и написана ставшая уже классической монография[52], содержащая первое в математической практике строгое изложение теории слов и доказательства правильности работы тех или иных алгорифмов. Помимо прочего, это предвосхищало ряд современных направлений в информатике.
Сама природа конструктивных объектов и процессов подсказывает новый подход к пониманию математических суждений. Например, существование конструктивного объекта считается установленным, если указан потенциально выполнимый способ построения этого объекта. При этом многие привычные принципы оказываются неприемлемыми. В особенности это относится к закону исключённого третьего и к косвенным методам доказательств, на нём основанных. Например, в доказательствах по хорошо знакомой схеме «от противного» существование конструктивного объекта устанавливается приведением к противоречию гипотезы, что искомый объект не существует. При этом никакого способа построения искомого объекта не предлагается, и он оказывается не осязаемым, чем-то вроде призрака. И такие призраки бродят по всей традиционной математике. Из сказанного ясно, что в конструктивной логике «быть» гораздо сильнее, чем «не может не быть». Впрочем, и в обычной речи здесь имеется явный стилистический оттенок, предложение «я выразил своё возмущение этому господину» звучит сильнее, категоричнее, чем «я не мог не выразить своего возмущения этому господину»[53].
По-видимому, Брауэр был первым учёным, сделавшим эпохальный шаг в осознании не универсального характера классической логики. Различные философии, различные приложения могут требовать различных логик. Эта множественность духовно сродни множественности геометрий, открытой в XIX-м веке Лобачевским, Бойяи и Гауссом. Брауэр же сформулировал основные принципы интуиционистской логики, с несущественными для нас нюансами являющейся также логикой конструктивной математики. Выражаясь кратко, классическая логика есть логика идеализированного математического бытия, абсолютного знания этого бытия, тогда как конструктивная логика есть логика наших умений.
Сережа прочёл «Гамлета» с особенным вдохновением, видно было, что стихотворение захватывало его. На меня это произвело сильное впечатление — не столько даже сами стихи, сколько одухотворённость читавшего и ощущение прикосновения к чему-то большому, новому, частью чего были эти немногие строки… Помнится, я тогда же сказал, что меня огорчает последняя строка «Жизнь прожить — не поле перейти». Непостижимо, как можно было закончить такое стихотворение чугунной формулой пословицы… Серёжа отвечал искренним недоумением и рассказывал о даче в Переделкино, смотревшей окнами на кладбище за полем, тем самым полем, которое Пастернак в конце концов «перешёл» на руках несших гроб… К могиле на холме под тремя соснами… Строка была пророческой.
50
В.А. Успенский, Семь размышлений на темы философии математики, Закономерности развития современной математики, Наука, М., 106–155, 1987.
Владимир Андреевич был, в частности, одним из основателей Отделения Структурной и Прикладной Лингвистики (знаменитый ОСИПЛ) на филологическом факультете МГУ. В.А. Успенский также оригинальный философ и вообще широко одарённый человек. Совсем недавно Владимир Андреевич выпустил двухтомник под характерным названием «Труды по Не Математике», ОГИ, М., 2002. Мои воспоминания об Успенском (и о мех-мате МГУ) можно найти в статье «Успенский пишет о Колмогорове», Историко-математические исследования, Вторая Серия, вып. 1(36), № 2, 165–191, Янус, М. 1996. (Английская версия: B.A. Kushner, Memories of Mech-Math in the Sixties, Modern Logic Vol. 4, № 2, 165–195, 1994).
51
Заинтересованный читатель может подробнее прочесть обо всём этом во введении к моей книге «Лекции по конструктивному математическому анализу», Наука, М., 1973 (существует английский перевод: B.A. Kushner, Lectures on Constructive Mathematical Analysis, AMS, Providence, Rhode Island, 1984). Не предполагает особой подготовки и моё эссе «Марков и Бишоп», Вопросы Истории Естествознания и Техники, № 1, 70–81, 1992 (опубликована также английская версия этой работы B.A.Kushner, Markov and Bishop, Golden Years of Moscow Mathematics, S. Zdravkovska, P. Duren, AMS-LMS, Providence, Rhode Island, 179–197, 1993). Более специальный характер носят мои статьи «Принцип бар-индукции и теория континуума у Брауэра», Закономерности развития современной математики, Наука, М., 230–250, 1987, «Арендт Гейтинг: Краткий очерк жизни и творчества», Методологический анализ оснований математики, Наука, М., 121–135, 1988, B.A. Kushner, Markov’s Constructive Analysis: a participant’s view, Theoretical Computer Science, vol. 219, 267–285, 1999.
52
А.А. Марков, Теория алгорифмов, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, т. 42, 1954. См., также цитированные выше два издания одноименной монографии Маркова и Нагорного.
53
Наши рассуждения показывают неприемлемость в конструктивной логике закона снятия двойного отрицания (если неверно, что неверно