Как только вы принимаете эти удивительные факты, все приходит в хаос и беспорядок. Целые числа и обыкновенные дроби, столь любимые и знакомые, становятся редкими и экзотичными. Вы, конечно, когда-нибудь и где-нибудь видели безобидную числовую ось. Но никто и никогда не говорил вам, что хаос скрывается именно там!
6. Твердая позиция
Я проходил мимо статуи Эзры Корнелла[23] сотни раз, даже не взглянув на покрытую зеленой патиной фигуру, но однажды остановился, чтобы лучше рассмотреть ее.[24]
Эзра выходит на улицу, исполненный гордого достоинства, в длинном пальто, жилете и сапогах. В правой руке он держит помятую широкополую шляпу и опирается на трость. Памятник производит впечатление непритязательности и обезоруживающей прямоты, какой, судя по всему, отличался в жизни и сам увековеченный в бронзе человек.
И именно поэтому так диссонируют с общим обликом памятника даты жизни Эзры. Они высечены на постаменте напыщенными римскими цифрами:
EZRA CORNELL
MDCCCVII — MDCCCLXXIV
Почему бы просто не написать 1807–1874? Римские цифры выглядят впечатляюще, но они трудно читаются и громоздки. У Эзры не хватило бы терпения прочесть их.
Найти хороший способ представления чисел всегда было сложно. Уже на заре цивилизации люди пробовали различные системы записи чисел[25] и проводили с их помощью подсчеты, будь то в торговле, измерении земельных наделов или пересчете скота в стаде.
Что объединяет почти все эти системы, так это то, что в них глубоко укоренились особенности анатомического строения человека. Из-за капризов эволюции у нас по пять пальцев на каждой руке. Этот анатомический факт отражается в примитивной системе подсчета, например число 17 записывается в виде:
Здесь каждая вертикальная черточка в каждой группе заменяет палец. Может быть, косая черта изображала большой палец, лежащий на остальных четырех пальцах, сжатых в кулак?
Римские цифры[26] лишь немного сложнее, чем счет на пальцах. Вы можете определить след счета на пальцах в способе написания римлянами чисел 2 и 3 как II и III. Косая черта находит отражение в форме римского числа 5 как V. Но 4 — особый случай. Иногда цифра пишется как IIII, хотя чаще как IV. Расположение в IV меньшего числа (I) слева от большего (V) означает, что вы должны вычесть I, вместо того чтобы прибавить, как если бы она стояла справа. Таким образом, IV обозначает 4, в то время как VI — 6.
Вавилоняне[27] не были настолько привязаны к своим пальцам. Их система счисления основывалась на числе 60, в чем отразился их безупречный вкус, так как 60 — исключительно приятное число. Его красота внутренняя и не имеет ничего общего с человеческой анатомией[28]. Шестьдесят — это наименьшее число, которое можно разделить нацело (без остатка) на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. И это только начало (есть еще делители 10, 12, 15, 20 и 30). Из-за своей уникальной делимости число 60 куда более приемлемо, чем 10, для любого вида расчетов или измерений, которые представляют собой деление на равные части. Когда мы делим час на 60 минут, или минуту на 60 секунд, или полный круг на 360 градусов, то питаемся идеями мудрецов Древнего Вавилона.
Но самое большое наследие вавилонян — это идея, которая сегодня нам настолько привычна, что мало кто из нас может оценить всю ее тонкость и гениальность.
Чтобы проиллюстрировать эту идею, давайте рассмотрим привычную для нас индо-арабскую систему счисления, которая основана на той же идее в ее современном воплощении. Вместо 60 она базируется на десяти символах: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и, что самое замечательное, 0. Они называются цифрами, естественно, от латинского слова «пальцы»[29].
Основное новшество в том, что, хотя эта система основана на числе 10, для него не зарезервировано никакого отдельного символа. Десять — это позиция цифр 1 и 0, их расположение, а не отдельный символ. То же самое справедливо для чисел 100 или 1000 и любых других, производных от 10. Их особый статус определяется не каким-либо символом, а местоположением составляющих их цифр. Такая система представления чисел называется позиционной системой счисления.
Здесь четко виден контраст между элегантной позиционной системой и более грубым подходом, используемым в римских цифрах. Вы хотите число десять? У нас есть 10. Это римское X. Аналогично получаем 100 (римское С) и 1000 (римское M). Также нетрудно получить десятичные представления для римских семей пятерок: римское V — число 5, римское L — число 50 и римское D — число 500.
23
Эзра Корнелл (англ. Ezra Cornell; 1807–1874) — американский бизнесмен, изобретатель, филантроп. Вместе с Эндрю Уайтом основал Корнелльский университет. Знаменит также тем, что был в числе учредителей и фактических руководителей всемирно известной компании Western Union, построившей первый трансконтинентальный телеграф в Соединенных Штатах.
24
Более подробную информацию о Корнелле, в том числе о его роли в Western Union, см. P. Dorf, The Builder: A Biography of Ezra Cornell (Macmillan, 1952); W. P. Marshall, Ezra Cornell (Kessinger Publishing, 2006); и http://rmc.library.cornell.edu/ezra/index.html, онлайн-выставку в честь 200-летнего юбилея Корнелла.
25
Древние системы счисления и происхождение десятичной системы обсуждаются в V. J. Katz, A History of Mathematics, 2nd edition (Addison Wesley Longman, 1998) и в C. B. Boyer and U. C. Merzbach, A History of Mathematics, 3rd edition (Wiley, 2011). О развитии систем счета см. C. Seife, Zero (Viking, 2000), chapter 1.
26
Марк Чу-Кэрролл рассматривает некоторые специфические особенности римских чисел и римской арифметики в блоге http://scienceblogs.com/goodmath/2006/08/roman_numerals_and_arithmetic.php.
27
Увлекательная выставка вавилонской математики описывается в N. Wade, An exhibition that gets to the (square) root of Sumerian math, New York Times (November 22, 2010) на сайте http://www.nytimes.com/2010/11/23/science/23babylon.html, сопровождающее слайд-шоу см. на http://www.nytimes.com/slideshow/2010/11/18/science/20101123-babylon.html.
28
Это может быть преувеличением. Одну из гипотез о том, как число 60 можно связать с анатомией рук человека, см. в G. Ifrah, The Universal History of Numbers (Wiley, 2000), chapter 9.
29
Вообще-то от латинского «пальцы» слово «цифра» происходит в английском языке, где слово digit обозначает как цифру, так и палец. В русском языке слово «цифра» происходит от арабского ṣifr — пустой, ничего, нуль.