Выбрать главу

Мой друг Грант Виггинс, эксперт по вопросам образования, уже много лет предлагает такое задание студентам и университетским преподавателям. Основываясь на своем опыте, он утверждает, что студенты более чем в половине случаев выполняют его неправильно, даже если совсем недавно прошли и успешно сдали курс алгебры.

Если вы тоже думаете, что ответ — y = 3f, добро пожаловать в клуб неудачников.

Эта формула похожа на «дословный перевод» утверждения «Один ярд равняется трем футам» на язык алгебры. Но как только вы попробуете подставить в уравнение несколько чисел, то сразу увидите, что в нем все перевернуто с ног на голову. Скажем, коридор имеет длину 10 ярдов, то есть 30 футов. Тогда при y = 10 ярдам, понятно, что f = 30 футам, и тождество становится неверным.

Верное уравнение: f = 3y. И здесь 3 действительно означает, что в одном ярде 3 фута (то есть имеет размерность фут/ярд). Когда вы умножите 3 на переменную y в ярдах, то ярды в уравнении сократятся, и у вас останутся, как и должно быть, футы.

Проверка правильности формулы с помощью сокращения единиц измерения помогает избежать грубой ошибки такого типа. Например, она могла бы спасти сотрудников отдела обслуживания клиентов компании Verizon (см. пример в главе 5) от путаницы между долларами и центами.

Еще один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешевыми трюками с числами. Вот один, который поразил физика Ричарда Фейнмана[31], хотя он сам неплохо считал устно.

Работая в Лос-Аламосе[32], я убедился, что Ганс Бете[33] превосходно считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс сказал:

— Это будет равняться 2300.

Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:

— Если вам нужен точный ответ, то 2304.

Калькулятор тоже выдал 2304.

— Ну и дела! Это впечатляет! — воскликнул я.

— Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? — удивился он. — Возводите в квадрат 50 — равно 2500 — и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом (в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности. Выйдет 2304.

Трюк Бете основан на тождестве (50 + х)2 = 2500 + 100x + х2. Он запомнил его и применил при х = –2, так как 48 = 50 — 2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек ковра со стороной 50 + х.

Его площадь, равная (50 + х) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50 × 50 (в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x, (площадь каждого по 50x; всего 100х), и, наконец, x, умноженное на x, что равно площади х в квадрате.

Такие тождества полезны не только для физиков-теоретиков. Еще одно тождество, подобное тождеству Бете, имеет отношение к любому, кто вкладывает деньги в фондовый рынок[34]. Предположим, ваши акции катастрофически упали на 50 % в одном году, а затем, в следующем, поднялись на 50 %. Даже при такой высокой прибыли их стоимость уменьшилась на 25 %. Чтобы в этом убедиться, обратите внимание на то, что при подсчете 50 % потерь вы умножаете свои деньги на 0,50, а при вычислении 50 % прибыли — на 1,50. Если производить эти вычисления одно за другим, то ваши деньги нужно умножить на 0,50 и на 1,50, что составляет 0,75. Другими словами, 25 % потерь.

На самом деле вам никогда не вернуться к первоначальной сумме, даже если вы несколько лет подряд будете иметь то потери, то прибыль на одинаковый процент. Алгебра поможет нам понять, почему так происходит. Это следует из тождества

(1 — х) (1 + х) = 1 — x2.

В одном году стоимость портфеля акций уменьшалась на коэффициент 1 — x (в примере x = 0,50), а в следующем году увеличивалась на коэффициент 1 + x. Таким образом, абсолютное изменение можно представить в виде выражения (1 — х)(1 + х), в соответствии с формулой, приведенной выше, оно равно 1 — x2.

вернуться

31

Ричард Фейнман (1918–1988) — выдающийся американский ученый, основные открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

вернуться

32

Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman! стр. 193 (W. Norton and Company, 1985).

Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М.: Колибри, 2008.

вернуться

33

Ганс Бете (1906–2005) — американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

вернуться

34

Получение одинаковых результатов при повышении и понижении стоимости акций на одинаковый процент при колебании цен на фондовом рынке можно доказать математически с помощью умножения 1 + x на 1 — x или геометрически, нарисовав схему, аналогичную используемой Бете для объяснения своего метода. Если у вас есть настроение, в качестве упражнения попробуйте оба подхода.