Шар и описанный вокруг него цилиндр
Например, Архимед знал, что вы можете сделать трисекцию угла при помощи линейки с двумя зафиксированными метками. Греки называли этот метод построения «невсис». Теперь нам известно (судя по всему, это уже предполагали греки), что точная трисекция угла при помощи линейки и циркуля невозможна, а значит, вклад Архимеда расширил границы возможного. Еще две знаменитые проблемы того времени – удвоение куба (построение тела, чей объем вдвое больше объема исходного) и квадратура круга – построение квадрата, равновеликого площади заданного круга. Их также невозможно решить только при помощи циркуля и линейки.
Дальнейшее расширение разрешенных операций в геометрии – введение нового вида кривых, конических сечений, – отразилось в арабских работах о кубических уравнениях, созданных около 800 г. н. э., и широко применялось в механике и астрономии. Эти кривые, что крайне важно для истории математики, получаются при пересечении плоскости с двойным конусом.
Палимпсест с трудами Архимеда
Конические сечения
Сегодня мы знаем три главных типа таких конических сечений.
• Эллипс – замкнутая овальная кривая – возникает, когда плоскость пересекает только одну половину конуса. Окружность – разновидность эллипса.
• Гипербола – кривая с двумя бесконечно длинными ветвями – получается, когда плоскость пересекает обе половины конуса.
• Парабола – переходная кривая между эллипсом и гиперболой, параллельная воображаемой линии, проходящей через вершину конуса и лежащей на его поверхности. Имеет только одну ветвь, уходящую в бесконечность.
Конические сечения подробно изучал Аполлоний Пергский, перебравшийся из Перги в Малой Азии в Александрию, чтобы учиться у последователей Евклида. Его главный труд, «Конические сечения», написан около 230 г. до н. э. и содержит 487 теорем. Евклид и Архимед лишь косвенно изучили некоторые свойства конусов, но пришлось написать целую книгу, чтобы собрать все теоремы Аполлония. Одна из важнейших его идей заслуживает особого внимания. Это упоминание о фокусах эллипса (либо гиперболы). Фокусы – две особые точки, характерные для этих двух фигур. Они имеют много свойств, но для нас важно одно: сумма расстояний от любой точки эллипса до обоих его фокусов есть величина постоянная (равная удвоенному большому диаметру эллипса). Фокусы гиперболы имеют то же свойство, но здесь этой же постоянной величине соответствует разница между аналогичными расстояниями.
Примерно в 250 г. до н. э. Эратосфен Киренский использовал геометрию для определения размеров Земли. Он заметил, что в полдень летнего солнцестояния светило находится практически прямо над Сиеной (нынешним Асуаном), поскольку его лучи падают прямо в вертикальную штольню колодца. В тот же день года тень от высокой колонны в Александрии показывает, что солнце отклонилось на 1/50 от полной окружности (около 7,2º) от вертикали. Греки знали, что Земля круглая, а Александрия расположена практически на одном меридиане с Сиеной, и, согласно геометрии, дуга окружности сферы совпадет с расстоянием от Александрии до Сиены и равна 0,02 окружности Земли.
Эратосфен знал, что верблюду нужно 50 дней на переход от Александрии до Сиены, если он будет проходить каждый день по 100 стадий. Значит, расстояние от Александрии равно 5000 стадий, а длина окружности Земли равна 250 тыс. стадий. К несчастью, мы не можем точно сказать, какова была длина стадии у древних греков. Наиболее вероятной величиной считается 157 м, т. е. окружность Земли по данным Эрастофена равна 39 250 км. Современные данные – 39 840 км.
Как Эратосфен измерил окружность Земли
С помощью конусов греки производили трисекцию угла и удвоение куба. При помощи других специальных кривых, особенно квадратрисы, они также могли найти квадратуру круга.
Древние греки внесли две основные идеи в развитие нашей цивилизации. Первая – систематизированный подход к геометрии. Используя ее как инструмент исследований, греки открыли форму и размеры нашей планеты, ее взаимодействие с Солнцем и Луной и даже сложнейшие связи с остальной Солнечной системой. Они использовали геометрию, прокладывая два туннеля с обоих концов так, чтобы они точно встречались посередине, тем самым вдвое сокращая время строительства. Они умели строить гигантские и мощные механизмы, исходя из таких простейших принципов, как закон рычага, и в мирных, и в военных целях. Они использовали геометрию для строительства кораблей и в архитектуре. Такие их постройки, как Парфенон, до сих пор показывают, что математика и красота неразрывны. Поразительная элегантность Парфенона – результат искусных подсчетов, использованных архитекторами для преодоления ограничений визуального восприятия и избавления от ошибок в самом основании, на котором построен храм.