Все больше современных единиц измерения сейчас описывают в таких величинах, как, например, время, необходимое атому определенного элемента для совершения какого-то числа колебаний. Но многие единицы измерений по-прежнему основаны на физических объектах, и масса тела – одна из них. Сегодня один килограмм можно определить как массу одного особого шара из чистого кремния, хранящегося в Париже. Шар был обработан с необычайно высокой точностью. Плотность кремния также была измерена очень точно. А формула Архимеда необходима для вычисления объема шара, который связывает плотность с массой.
Принцип трассировки луча и получение отражения
Еще один пример современного применения геометрии – компьютерная графика. Кинематограф всё шире использует возможности сгенерированного компьютером изображения (computer-generated images, CGI), и часто это необходимо, чтобы включить в картинку отражения – в зеркале, бокале вина, любой поверхности, отражающей свет. Без них теряется реалистичность. Самый эффективный способ этого добиться – трассировать луч. Когда мы смотрим на сцену под каким-то определенным углом, наш глаз реагирует на луч света, отраженный от объекта на сцене и попавший в глаз с этого направления. Мы можем отследить путь этого луча в обратном направлении. От любой отражающей поверхности луч отскакивает, так что исходный и отраженный угол одинаковы (см. рис. выше). Перевод этого геометрического факта в численные выражения позволяет компьютеру трассировать луч по обратному пути, сколько бы точек отражения ни потребовалось ему, прежде чем он встретит на своем пути что-то непрозрачное (здесь может быть несколько точек – если, например, поставить перед зеркалом бокал вина).
Глава 3. Народы и числа
Мы так привыкли к нашей системе счисления с использованием десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, что для некоторых настоящим потрясением становится существование иных способов изображения числа. Но даже в наши дни во многих культурах – арабской, китайской, корейской – для десяти цифр применяют другие символы, хотя все комбинируют их для обозначения больших чисел при помощи метода позиционирования (сотни, десятки, единицы). Но разница в обозначениях может быть еще больше. Десять – вовсе не такое уж незаменимое число. Да, оно отражает число пальцев на обеих руках, удобно для счета, но если бы у нас было по семь пальцев или по двенадцать, то очень схожие системы работали бы ничуть не хуже, а то и лучше.
Римские цифры
На Западе многие знакомы по крайней мере с одной альтернативной системой – римскими цифрами. Например, год 2007 в ней выглядит как MMVII. Многие из нас смогут, если им напомнить, назвать по меньшей мере два способа изображения чисел, которые не являются целыми: обычные дроби, как 3/4, и десятичные, например 0,75. Но есть еще один способ цифровой записи, используемый в калькуляторах: экспоненциальная запись для изображения сколь угодно больших и сколь угодно малых чисел, например 5 × 109 для пяти миллиардов (часто в виде выражения 5Е9 на экране калькулятора) или 5 × 10–6 для пяти миллионных.
Эти системы символов развивались тысячелетиями, и в культурах появлялись самые разные их альтернативы. Мы уже упоминали о шестидесятеричной системе вавилонян (которая, естественно, удовлетворила бы любое существо с 60 пальцами) и более простые, но ограниченные египетские символы со странным делением на доли. Позже в Центральной Америке майя изобрели и использовали двадцатеричную систему. Человечество остановилось на современной символике относительно недавно, и она также прошла через фильтр из традиций и условностей. И хотя математика – наука концепций, а не символов, удачный выбор символов для нее очень важен.
Греческие цифры
Историю символов для изображения цифр продолжили древние греки. Греческая геометрия стоит на порядок выше вавилонской, а вот арифметика – насколько мы можем судить по сохранившимся источникам – нет. Греки даже сделали большой шаг назад: они не воспользовались возможностями позиционной системы счисления. Они предпочли особые символы для чисел, кратных 10 или 100, так что, например, символ для 50 имел мало общего с изображениями 5 или 500.
Первые свидетельства записи чисел в Греции датируются примерно 1100 г. до н. э. Около 600 г. до н. э. они изменились и к 450 г. до н. э. скорректировались еще раз с принятием аттической системы счисления, немного похожей на римскую. В ней использовались символы I, II, III и IIII для чисел 1, 2, 3 и 4. Для числа 5 греки взяли заглавную «пи» (Π), возможно потому, что это первая буква в слове «пента» («пять»), 10 изображалось как Δ, первая буква в слове «дека» («десять»), 100 – как Η, первая буква в «гекатон» («сотня»), 1000 – как Ξ, первая буква «хилиои» («тысяча»), 10 000 – как Μ, первая буква «мюриой» («мириада».). Позже Π заменили на Γ. Итак, число 2178, например, было бы записано как ΞΞΗΔΔΔΔΔΔΔΓIII.