Условия задачи Фибоначчи для воображаемой популяции кроликов нельзя воспроизвести физически, но более общее правило (модель Лесли) используется и по сей день для некоторых задач динамики популяций. Их приходится решать, чтобы предсказать популяционные колебания определенного вида животных с учетом спаривания и смертности.
Многие главы «Книги абака» содержат алгебраические задачи, отвечающие интересам купечества. Одна, не только практическая, выглядит так: «Некто купил 30 птиц – попугаев, голубей и воробьев. Попугай стоит 3 серебряных монеты, голубь 2, а воробей 1/2. Он заплатил 30 серебряных монет. Сколько птиц каждого вида он купил?»
Если x обозначает число попугаев, y – число голубей, а z – число воробьев, то в современной системе мы составим уравнения:
x + y + z = 30,
3x + 2y + 1/2 z = 30.
В мире рациональных чисел эти уравнения будут иметь много решений, но в самом вопросе подразумевается дополнительное условие: x, y, z – целые числа. Тогда есть только один ответ: 3 попугая, 5 голубей и 22 воробья.
Леонардо также приводит ряд задач, посвященных покупке лошади. Один человек говорит другому: «Если ты дашь мне треть своих денег, я смогу купить лошадь». Тот ему отвечает: «Если ты дашь мне четверть своих денег, я смогу купить лошадь». Сколько стоит лошадь? Сейчас уже найдено много решений; среди целочисленных самая малая цена лошади – 11 серебряных монет.
Греки открыли, как использовать конические сечения для решения некоторых кубических уравнений. Современная алгебра доказала, что если коническое сечение пересекается с другой коникой, точки пересечения находятся с помощью уравнения третьей или четвертой степени (в зависимости от конического сечения). Греки не знали об этом как об общем факте, но использовали следствия из него в некоторых частных случаях, применяя коническое сечение как новый вид геометрического инструмента.
Эта линия атаки была дополнена и приведена в систему персидским ученым Омаром Хайямом, более известным как автор четверостиший рубаи. Примерно в 1075 г. он классифицировал кубические уравнения на 14 видов и показал, как решать каждый из них, используя коники, в своем труде «Трактат о доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы». Этот труд стал прорывом в геометрии, в нем практически безукоризненно развит геометрический метод решения кубических уравнений. Кое-кто из современных математиков может это оспорить: некоторые задачи у Хайяма решены не полностью, так как он предполагал, что отдельные точки геометрически определены, хотя иногда их не существует. Причина в том, что иногда он считал, будто его коники пересекаются, хотя на самом деле этого не было. Но всё это лишь незначительные огрехи его трудов.
Итак, геометрические методы решения кубических уравнений были найдены, но существуют ли также и алгебраические решения, где самыми сложными составляющими будут кубические корни? Итальянские математики эпохи Возрождения совершили огромный прорыв в алгебре, найдя положительный ответ на этот вопрос. В то время математики зарабатывали себе репутацию, соревнуясь в публичных состязаниях. Каждый участник предлагал противникам свои задачи, и тот, кто решил больше всех, признавался победителем. Зрители вольны были даже заключать пари на исход соревнования. Ставки порой делали и сами участники: описан случай, когда проигравший был обязан угостить победителя (и его друзей) тридцатью обедами. Кроме того, у хорошо проявивших себя участников состязания появлялась дополнительная возможность обзавестись учениками, особенно среди знатной молодежи. Так или иначе, публичные математические бои стали серьезным мероприятием.
Одна из таких дискуссий состоялась в 1535 г.: предстояло встретиться Антонио Фиоре и Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья, «заика». Тарталья разнес Фиоре в пух и прах, и слух о его триумфе дошел до ушей Джероламо Кардано. Тот насторожился. Он как раз трудился над всесторонней книгой об алгебре, как раз над тем разделом, что оказался предметом состязания между Фиоре и Тартальей: кубические уравнения. Тогда было принято делить кубические уравнения на три разных типа – опять-таки из-за нежелания признавать отрицательные числа. Фиоре было известно решение лишь для одного типа. А Тарталья поначалу знал решение только для другого типа. В современной нотации его решение для уравнения типа x3 + ax = b выглядит так: