Для большей наглядности проведем анализ формально с использованием аллегории железнодорожных путей со шпалами. Пусть расстояние между двумя объектами измеряется количеством шпал между ними. Примем, что исходное расстояние при t = 0 составляет одну шпалу r0 = 1.
Пусть удлинение, расширение пространства происходит монотонно таким образом, что его длина увеличивается за счет удвоения каждой шпалы в единицу времени. Здесь мы введем величину, которую назовём коэффициентом пространственного расширения (чтобы не путать его с масштабным фактором), равную в данном случае 2. Поэтому в следующий момент времени шпал будет уже две:
В следующий и дальнейшие моменты времени число шпал каждый раз удваивается:
И так далее. Здесь уже можно обнаружить некоторое сходство с законом Хаббла, но для зависимости не скорости от расстояния, а расстояния от времени, поскольку очень хорошо видна закономерность:
Однако мы использовали довольно радикальное значение параметра расширения пространства – удвоение.
Удвоение атомов пространства является, видимо, чрезмерно завышенной величиной. Поэтому выберем некоторую константу, значение которой пока не устанавливаем. Поскольку конечный результат, надо признаться, нам вообще-то известен, в качестве константы возьмем величину eH, которую также назовём коэффициентом пространственного расширения. Пусть в начальный момент времени расстояние между двумя объектами (галактиками) равно r0. Согласно выбранной модели за каждую единицу времени количество атомов пространства будет возрастать в eH раз. Поэтому в каждый следующий момент времени расстояние будет увеличиваться. Продолжив вниз левый столбец в следующей таблице, обнаруживаем закономерность (средний столбец), которую переписываем в короткое уравнение (справа):
И так далее. Закономерность очевидна:
Или кратко:
Уравнение описывает, как со временем увеличивается расстояние между двумя областями, находящимися в исходном состоянии на некотором расстоянии r0. Выше мы умышленно использовали константу в виде eH, чтобы получить именно такую запись (8), причем величина H окажется в точности равной постоянной Хаббла.
Легко заметить сходство уравнения (8) с законом Хаббла, но для зависимости не скорости от расстояния, а расстояния от времени. Если продифференцировать его по времени, то мы сразу же и получаем развёрнутый закон Хаббла:
Замечаем, что последний сомножитель – это значение r, подставляем и получаем обычную запись закона Хаббла:
5. Интегральный закон Хаббла
Несложно показать, что при использовании изменяющегося во времени параметра eH(t) мы получим интегральное уравнение движения а(t) или r(t).
Для этого все одинаковые интервалы времени записываем количественно, а не в порядковом виде. Каждое следующее состояние пространства является расширением предыдущего интервала, уже испытавшего соответствующее расширение.
Отмечаем, что все интервалы времени Δti равны друг другу, а Hi – это значение параметра Хаббла, соответствующее текущему моменту времени этого i-го интервала. Для визуализации будем в уравнениях предыдущий интервал отделять от следующего закрывающей скобкой. Чтобы избежать "размножения" сопутствующих им открывающих скобок, мы их просто опустим, помня, что их может быть столько же, сколько и закрывающих:
В первой строке показано, что расширение eHt испытал исходный интервал r0. Во второй строке расширение происходит теперь уже у этого уже расширившегося интервала в скобках. В третьей строке новым интервалом для расширения является итоговый интервал из второй строки. И так далее. Закономерность очевидна, она имеет вид:
Обнаруживаем, что сумма произведений мгновенного значения параметра Хаббла, соответствующего каждому краткому интервалу времени, выглядит как интеграл. Если длины интервалов устремить к нулю, то получим интеграл:
Верхним пределом интеграла является время T – сумма всех бесконечно малых интервалов времени dt просто потому, что количество слагаемых n как раз и равно количеству этих интервалов dt в общем времени: T = n×dt.