7 • 3 = (5 + 2) (5 — 2) = 5 • 5 — 2 • 2,
11 • 7 = (9 + 2) (9 — 2) = 9 • 9 — 2 • 2,
15 • 9 = (12 + 3) (12 — 3) = 12 • 12 — 3 • 3,
25 • 11 = (18 + 7) (18 — 7) = 18 • 18 — 7 • 7,
(40 + 19) (40 — 19) = 40 • 40 — 19 • 19.
Сможешь ли ты объяснить общее правило?
Общее правило (формула) таково: если сумму двух чисел умножить на разность тех же чисел, то получим то же самое, если мы сначала первое число умножим само на себя, затем второе умножим само на себя и из первого произведения вычтем второе.
Конечно, настоящей, полноценной формулой это правило станет лишь тогда, когда мы запишем его, как говорят математики, в буквенной, алгебраической форме. И, что очень важно, докажем его, а не получим из примеров. Но об этом ты узнаешь в старших классах.
Как с помощью этого правила Нави быстро нашел нужный результат? Сначала он перемножил 23 • 17 = (20 + 3) (20 — 3) = 20 • 20 — 3 • 3 = 400 — 9 = 391. Затем 409 • 391 = (400 + 9)(400 — 9) = 400 • 400 — 9 • 9 = 160 000 — 81 = 15 919.
30. Найди устно следующие произведения: 31 • 29, 102 • 98, 204 • 196, 999 • 1001. Чему равно выражение 56 789 • 56 789 — 56 790 • 56 788?
Последним заданием для Нави, как ты помнишь, была игра с палочками. Если ты не разобрался в том, почему начинающий игрок, следуя правилу, указанному Нави, обязательно выигрывает, то давай с тобой сыграем в несколько игр.
И дедушка с внуком с увлечением сыграли в описанную игру. Только вместо палочек они использовали спички. Если начинающий действовал по нужному правилу, он обязательно выигрывал. Но стоило ему (начинающему) хотя бы раз изменить этому правилу, то выигрывал уже второй игрок. Разумеется, если он правильно играл. Что дедушка и показал несколько раз внуку.
— Ну что ж! Если ты полностью разобрался в этой игре, то предлагаю задачу.
31. На столе лежат 50 палочек. Двое по очереди берут любое число палочек, но не больше 7. Тот, кто взял последнюю, выигрывает. Кто выигрывает при правильной игре? Начинающий игру или его соперник? Как надо играть?
Я надеюсь, что ты теперь легко справишься с этой задачей. Что касается игры «ним», о которой говорил Нави, то я пока не могу тебе о ней подробно рассказать. Может, немного позднее. А сейчас мы рассмотрим один ее вариант.
32. На столе лежат две кучки палочек. В одной 23 палочки, а в другой — 24. Двое игроков по очереди берут любое количество палочек из любой, но только одной кучки. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю. Кто выигрывает при правильной игре: первый игрок или второй? Как должен играть первый игрок?
В этой игре также выигрывает тот, кто начинает. Во время первого хода он должен взять 1 палочку из большей кучки. Надо уравнять число палочек в кучках.
Ты понял, как дальше должен играть первый игрок?
И последняя задача на эту тему.
33. На столе лежат 32 конфеты. Малыш и Карлсон по очереди берут со стола конфеты. Разрешается за один ход взять не больше половины имеющихся конфет. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. (Одну конфету нельзя делить пополам.) Выигрыш — большой торт. Конечно, Карлсон настоял на том, что он должен начинать игру. Сможет ли он выиграть? Сколько конфет он должен взять за первый ход, чтобы наверняка выиграть?
В этой игре следует начать с конца. Если на столе 1 конфета, то тот, чей ход, проигрывает. Если на столе 2 конфеты, начинающий выигрывает. Дальше рассмотри, кто выигрывает, когда на столе 3, 4, 5, … конфет. Попробуй найти те числа (назовем их «плохими»), при которых начинающий проигрывает. Легко увидеть, что после 1 «плохим» будет число 3. Найди следующие «плохие» числа. Понятно, что надо стараться оставить сопернику «плохое» число. С этим методом — назовем его «обратный ход» — тебе еще придется встретиться.
Глава 6
Арифметика в дождливый день
Конечно, было бы неправильно утверждать, что в течение всех каникул Федя только и делал, что занимался математикой. У него появилось много друзей среди местных ребятишек. Они вместе ходили в лес, купались, играли в разные игры и, конечно, в футбол. Однажды Федя даже разбил мячом окно в местном клубе. Правда, сам Федя утверждал, что виноват его приятель Володя, который не смог поймать брошенный Федей мяч. В общем, кроме математики, были и другие развлечения. Но мы о них не будем рассказывать. К нашей книге все это отношения не имеет.
Да и сами занятия математикой проходили по-разному. Иногда, обычно после завтрака, дедушка с внуком поднимались на второй этаж, и там происходил самый настоящий урок. Так проходили дождливые дни, которые, как известно, бывают каждое лето. Нередко также Федор получал от дедушки задания и с большим удовольствием их выполнял. Ведь все задания, которые предлагал дедушка, были интересными и неожиданными. Совсем не было столь нелюбимых Федором примеров. А может, это просто казалось.