Как это случилось и с работой 1925 года, новая работа Колмогорова по интуиционистской логике осталась малоизвестной. По-видимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16]. Семантика реализуемости, оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10].
Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух работ. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за пределами России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на Западе. Можно надеяться, что статья Успенского, опубликованная по-английски и в одном из самых читаемых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию[xviii].
5. Дальнейшая часть обзора Успенского посвящена трудам Колмогорова по общей теории алгоритмов и алгоритмическим основаниям теории вероятностей. Следует сказать, что В.А. Успенский принял самое живое участие в этой деятельности А.Н. Колмогорова. Широко известная ныне общая концепция алгоритма, задуманная Колмогоровым и реализованная им совместно с Успенским, по-видимому даёт наиболее общее точное описание интуитивных алгоритмов. Алгоритмы, подпадающие под эту концепцию, обычно называют алгоритмами Колмогорова-Успенского. Я специально подчёркиваю это обстоятельство, не отмеченное В.А. по понятным причинам. Определение Колмогорова-Успенского оказалось очень плодотворным, как с точки зрения приложений (теория сложности), так и с точки зрения оснований математики. Если в других классических точных определениях (машина Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгорифмы Маркова и т.д.) ставилась задача воспроизвести работу любого интуитивного математического алгоритма посредством некоторого алгоритма из данного точного класса (возможность всегда достичь этой цели и провозглашалась Тезисом Чёрча, тезисом Тьюринга, принципом нормализации и т.д.), то определение Колмогорова-Успенского пытается непосредственно представить наиболее общие мыслимые математические алгоритмы. Анализ природы финитарных процессов, приводящий к упомянутому определению, представляет большой методологический интерес. Некоторые авторы полагают даже, что этот анализ доставляет легитимное доказательство Тезиса Чёрча (см. интересную работу Мендельсона [20]).
Несомненный исторический интерес представляют замечания Успенского о семинаре «Рекурсивная Арифметика», которым Колмогоров пригласил его соруководить в 1953/1954 учебном году. Историкам математики будет небесполезно проследить связь между трудами по дескриптивной теории множеств московской школы Лузина и изучением рекурсивно-перечислимых множеств в этом семинаре[xix]. (Если я не ошибаюсь, аналогичные события происходили примерно в то же время и на семинарах П.С. Новикова.) На этом же семинаре Колмогоровым были высказаны основные идеи будущей теории нумераций, впервые развитые в точной форме В.А. Успенским.
Ярко представлен Успенским и один из последних творческих подвигов А.Н. Колмогорова – создание им и очередным поколением его учеников основ алгоритмической теории информации и теории вероятностей. Эти труды А.Н. Колмогорова ведут непосредственно в сегодняшний день. Соответствующие теории ещё не обрели завершенные формы, продолжается поиск основных концепций, оттачивается интуиция. Драматические начальные шаги этого процесса, протекавшие в 60-е годы, во всей их живой полноте представлены Успенским. Я могу только дополнить его описание несколькими наблюдениями и воспоминаниями, поскольку я тоже был непосредственным свидетелем происходящего.
Мне не довелось быть непосредственным учеником Колмогорова, и мои личные встречи с ним были немногочисленны. Но каждая навсегда врезалась в память. Первая такая встреча произошла в середине 60-х годов, когда я был аспирантом на кафедре математической логики. С.А. Яновская планировала организовать заседание Математического Общества по программным методам обучения с участием ведущих математиков, педагогов и психологов. Написав записку А.Н., она попросила меня отвезти это послание на дачу в Болшево-Комаровке, вблизи Москвы, которую Колмогоров в течение многих лет разделял с П.С. Александровым. Дача эта, конечно же, была знаменита в математических кругах. Дело было зимним холодным вечером, и я нашёл не особенно приметный дом не без труда.
Колмогоров вышел ко мне в лыжном костюме, как всегда, голова его была чуть-чуть наклонена вперёд. Обращение его с любым собеседником, независимо от возраста и ранга, всегда было предельно корректным. Вот и сейчас, увидев меня первый раз, он протянул руку, пригласил сесть и погреться. Прочитав записку, А.Н. сказал, что, к сожалению, не сможет сделать доклад, о чём его просила Яновская, так как не чувствует себя экспертом в данной области. Он рекомендовал обратиться к Б.В. Гнеденко, который, если мне не изменяет память, и сделал требуемый доклад. Из самого заседания математического общества мне запомнился лишь не лишённый комизма эпизод. Один из выступавших, энтузиаст-психолог увлечённо излагал своё необычайное и, несомненно, окончательное решение проблемы обучения детей математике.
– Как, например, учить сложению? – риторически спросил он, – мало кто знает, что такое сложение! – И, посмотрев в зал, заполненный математиками, добавил
– Вы не знаете, что такое сложение!
И здесь не выдержал А.Г. Курош.
– МЫ знаем, что такое сложение! – возмущённо возразил он.
Вообще подготовка этого заседания оказалась крайне благотворной для меня. Я ближе познакомился с С.А. Яновской, с её учеником философом Б.В. Бирюковым, от которого я впервые услышал о замечательном учёном и замечательной личности академике, адмирале А.И. Берге (много лет спустя Аксель Иванович энергично вмешался, когда моя монография застряла в недрах Редакционно-Издательского Совета Издательства Наука). В те дни мне довелось провести несколько часов в доме матери Б.В. Бирюкова в одном из исчезнувших теперь Таганских переулков. Как жаль, что я тогда же не записал её рассказ, какой трагический, какой подлинный документ о жизни в коммунистическом государстве мог бы получиться! С её недавней кончиной ещё один непосредственный свидетель трагических событий, способный описать их, ушёл навсегда...
Мои дальнейшие персональные встречи с А.Н. Колмогоровым почти всегда были связаны с представлением моих работ в Доклады АН СССР. Запомнился следующий случай. Я получил представлявшиеся мне интересными результаты по некоторым довольно экзотическим системам вычислимых действительных чисел. Как обычно в таких случаях, Марков позвонил Колмогорову, и тот попросил принести ему работу для представления. А.Н. встретил меня у дверей своей квартиры в одном из крыльев главного здания МГУ, нашёл уголок на заваленном бумагами огромном письменном столе, просмотрел рукопись, написал своё представление и попросил оставить ему копию статьи. Я поблагодарил А.Н., протянул ему копию манускрипта и собрался уходить. Но А.Н. остановил меня и сделал несколько (к большой моей радости вполне положительных) замечаний о моей работе. Замечания эти не были простой любезностью, из них я с изумлением убедился, что А.Н. знал содержание моих предыдущих работ и вполне ясно представлял характер полученных мною результатов. Надо сказать, что большинство моих коллег, целиком посвятивших себя математической логике, не имели никакого представления о тематике, над которой я тогда работал.
[18]
В связи с подобными проблемами часто приходится слышать о языковом барьере. Боюсь, однако, что дело обстоит сложнее. Во-первых, скажем, Колмогорову не легче читать по-английски, чем любому его англоязычному коллеге по-русски. Во-вторых, статья 32-го года написана по-немецки, а статья 25-го года уже довольно давно (1967 г.) опубликована в английском переводе профессором Хейенортом [17]. В третьих, трудно не вспомнить об аналогичной судьбе выдаюшейся работы П.С. Новикова [18], опубликованной в 1943 году
В связи с публикацией английского перевода статьи 25-го года приведём короткое, но выразительное письмо Колмогорова (копия приводимого письма получена, благодаря любезности Профессора И. Анелиса, из Jean van Heijenoort papers, 1946-1983, Archives of American Mathematics, University Archives, University of Texas at Austin).
Москва В 234 Professor John van Heijenoort
Университет 100 Washington Square
Зона Л. кв. 10 New York 3 N.Y. USA
А.Н.Колмогоров
Глубокоуважаемый Коллега!
Моя работа, опубликованная в 1925 году, может рассматриваться как общее достояние специалистов по математической логике, и я ничего не имею против ее перевода. Рассчитываю, впрочем, на Вашу любезность в смысле присылки мне экземпляра подготовляемой Вами книги по её выходе в свет.
С искренним уважением
12 ноября 1963 Ваш А. Колмогоров
О невероятной жизни самого ван Хейенорта можно прочесть в яркой книге Аниты Феферман [19].
[19]
Связь этих двух теорий особенно ясно ощущается в иерархиях множеств в теории рекурсивных функций (иерархия Клини-Мостовского и т.д.).