Универсальный характер колмогоровского таланта, его способность видеть буквально всю математику (и не только её) сразу, целиком поразительны. Ещё в студенческие мои годы я слышал граничащие с легендами рассказы о лёгкости, с которой Колмогоров читает математические работы. Однажды один профессор-механик рассказал мне, как на защите его друга на доске появилась многоэтажная формула, представлявшая какую-то вероятность. Сложные вычисления по этой формуле диссертант не производил (компьютеров тогда не было), так что вероятность эта оставалась своего рода вещью в себе. Однако он услышал негромкую реплику Колмогорова, без особой настойчивости сказавшего, что обсуждаемая вероятность, скорее всего, равна 1/3 (или что-нибудь в этом роде). Замечание поразило диссертанта и он, вернувшись домой, приступил к вычислениям, занявшим значительное время и подтвердившим прогноз Колмогорова. Я помню так же, как была изумлена моя жена, вернувшись с семинара по турбулентности. Доклад академика Миллионщикова привлёк многих слушателей, пришёл и Колмогоров. Хорошо известно, что А.Н. выполнил выдаюшиеся исследования по турбулентности и даже создал свою школу в этом направлении. Однако в 70-е годы турбулентность вряд ли была в центре его интересов. Тем не менее, из нескольких сделанных им по ходу доклада замечаний было ясно, что он понимает происходящее быстрее, яснее и глубже присутствовавших, среди которых были первоклассные эксперты по данной проблеме.
Приведу и одну забавную фольклорную историю. Однажды в какой-то математической компании зашёл разговор о формализации «женской логики». Колмогоров немедленно предложил следующий принцип: «Если В следует из А, и В приятно, то А – истинно».
Публичные лекции А.Н.Колмогорова всегда выливались в большие события. В 60-е годы А.Н. прочёл несколько лекций по теории автоматов. В большой аудитории первого этажа обычно не хватало мест и многие слушатели располагались в фойе, куда лекция транслировалась по внутреннему радио. В те годы ещё были не забыты дискуссии вокруг кибернетики, которую записные марксистские философы всё-таки успели окрестить «буржуазной лженаукой». Возможно, это было одним из последних рецидивов марксистского энтузиазма, о котором я уже говорил. Демагогия является обычной и широко распространённой болезнью общественного сознания, однако в тоталитарном обществе порок этот приобретает особо злокачественный характер. Думается, было бы крайне полезно перевести на многие языки стенографический отчёт о дискуссии по биологии в 1948 году в ВАСХНИЛ ( Всесоюзная Академия Сельскохозяйственных Наук имени Ленина – Ленин, конечно, же был также и великим новатором сельского хозяйства!). Война, развязанная с благословения вождя всех народов против буржуазной теории «вейсманизма-морганизма-менделизма» (то есть против научной генетики) шарлатаном Лысенко и его подручными, завершилась разгромом советской биологической науки. Как всякая война, эта война собрала свои жертвы, жертвы в буквальном смысле слова... Некоторых героев этой войны, вроде пресловутого академика Митина, можно было видеть и на других полях сражений, видимо дарования их были универсальны. С их помощью на химической дискуссии была разоблачена буржуазная квантовая теория молекулы, кажется, водорода, зловредно, в ущерб передовой отечественной концепции Бутлерова-Марковникова, развитая капиталистическим мракобесом Полингом (если я не ошибаюсь, почти в то же самое время или несколько позже тот же учёный при немного другом прочтении его фамилии – Паулинг – фигурировал в советской пропаганде, как прогрессивный деятель, друг СССР, борец за мир и т.д.)
На одной из своих лекций А.Н. рассказывал о кругосветном плавании, совершенном им на научно-исследовательском судне Академии Наук. Среди экипажа возник спор по поводу какой-то научно-популярной передачи, принятой по радио. Мнения разделились. Спор улёгся лишь, когда в следующей передаче выступил с разъяснениями академик Х.
– Но ведь и я говорил им то же самое – изумлялся Колмогоров, – Да куда там... Свой академик, здесь, на борту вроде бы и не академик. Вот чужой, по радио – это другое дело...
Нет пророков в своём отечестве...
Многообразные интересы Колмогорова включали и проблемы преподавания. Здесь можно упомянуть созданную в Москве при активном его участии школу-интернат для математически одарённых детей, реформу преподавания математики в средней школе и многое другое. В 1972 году Колмогоров впервые прочёл обязательный курс по математической логике для студентов-математиков МГУ. О необычной атмосфере и событиях, окружавших этот курс, я уже писал в [5]. Думаю, что математическая логика обязана А.Н. и сохранением своего научного центра в Московском Университете. Когда в 1979 году скончался А.А. Марков, возникла реальная угроза поглощения кафедры математической логики уже упоминавшейся выше школой «дискретной математики», к тому времени достигшей значительного административного влияния. По-видимому так бы и случилось, если бы не вмешательство Колмогорова. Несмотря на уже расстроенное здоровье, он возглавил кафедру, и с тех пор в течение ряда лет его можно было видеть во главе исследовательского семинара, связанного с именами П.С. Новикова, А.А. Маркова, С.А. Яновской. В последние годы было видно, как тяжело ему даётся само присутствие на семинаре, и всё же он почти неизменно занимал своё место в первом ряду[xx]... Спасибо ему.
6. В начале 60-х годов Колмогоров приступил к разработке новой концепции теории информации и теории вероятностей на основе введённого им понятия алгоритмической сложности конструктивного объекта. Неожиданность и смелость этого начинания мало, с чем можно сравнить. Известно, что теория вероятностей ещё в начале нынешнего столетия сохраняла мистический налет, и попытки поставить её на прочный математический фундамент, не были вполне успешными. Теория эта ещё ждала своего Вейерштрасса. Именно Колмогорову в начале тридцатых годов удалось создать общепринятую сегодня строгую аксиоматику теории вероятностей, сводящую последнюю к теории меры. Таким образом, Колмогорова с полным основанием можно считать одним из отцов математической науки о вероятности. И вот на фоне огромных достижений, безопасности и комфорта, достигнутого в теории вероятностей, сам её творец возвращается снова к самому началу, к загадке случайного и предлагает совершенно новый подход ко всей этой проблеме. Отсылая читателя за математическими подробностями к великолепному изложению В.А. Успенского, я хочу добавить, что примерно в те же годы вопросами сложности алгоритмов заинтересовался и А.А. Марков.
Если к началу 60-х годов уже были достигнуты определённые успехи в изучении сложности алгоритмических вычислений[xxi], то проблемы изучения сложности описаний тех или иных алгоритмов ещё предстояло решать. Пионерские работы А.А. Маркова 1962–1964 годов [22–23] заложили основы соответствующей теории. В частности, во многих случаях оказалось возможным найти новое количественное представление сложности неразрешимости алгоритмических проблем через так называемые оценки сложности разрешения. Поясню вкратце сказанное. Предположим, что мы хотим отыскать алгоритм, распознающий принадлежность произвольного натурального числа nданному множеству M. Как известно, во многих случаях искомый алгоритм невозможен. Вместе с тем данную проблему P можно аппроксимировать финитарными проблемамиPk – каждая такая проблема состоит в отыскании алгоритма, распознающего принадлежность к Mнатуральных чисел, не превосходящих k. При каждом k можно попытаться оценить сложность описания алгоритма, решающего соответствующую финитарную проблему. Ясно, что если указанная сложность неограниченно возрастает с ростом k, то начальная проблема P алгоритмически неразрешима.
[20]
Запомнился доклад Н.А. Шанина о кванторах предельной осуществимости. Доклады Николая Александровича всегда являлись событиями. Они покоряли как значительностью расматриваемых проблем, так и темпераментом и человеческим обаянием докладчика, его бескомпромиссным "правдоискательством" в математике. Я, как правило, не разделял философских установок Н.А. и часто вступал с ним в дискуссии, порой довольно горячие. Не отставали от меня и некоторые другие участники наших семинаров. Должен заметить, что Н.А. явно любил эти баталии, в тех редких случаях, когда всё сходило тихо, он выглядел заметно разочарованным. Упомянутый доклад вызывал у меня особый интерес, поскольку я интересовался системами вычислимых действительных чисел, основанными как раз на такого рода квантификациях. Эти мои интересы неоднократно и нелицеприятно осуждались Н.А. Соответственно я предвкушал своего рода возмездие. Дискуссии, однако, не получилось. Колмогоров, сидевший в первом ряду, выглядел настолько нездоровым, что ни о чём другом и думать было нельзя. Николай Александрович быстро прочёл свой доклад, его печаль и тревога были очевидны. И всё же Колмогоров нашёл силы приподняться и поблагодарить Н.А. в конце семинара. Думаю, что это был последний раз, когда я слышал Колмогорова.
[21]
Одни из первых результатов в оценка сложности алгоритмических вычислений были получены ещё в 50-х годах учеником А.А. Маркова Г.С. Цейтиным. Великолепное введение в указанную проблематику можно найти в книге Б.А. Трахтенброта [21].