Совокупность энергии Ферми-газа при абсолютном нуле больше суммы энергий фундаментальных состояний отдельных частиц. Это объясняется тем, что принцип Паули действует как давление, удерживающее фермионы отдельно друг от друга и в движении. Поэтому давление Ферми-газа ничтожно и при абсолютном нуле: давлением Ферми, или давлением вырождения, называют давление, которое стабилизирует звезды, и только в том случае, если звезда обладает достаточной массой для преодоления давления Ферми, она может провалиться в гравитационную сингулярность, или в черную дыру.
Наконец, модель Томаса — Ферми дала хорошее описание атомной плотности и объяснила, почему размеры каждого материального элемента являются следствием равновесия между внешними силами (электромагнитными или гравитационными, в зависимости от того, рассматриваются квантовые или астрономические явления) и давлением Ферми. В XX веке атомно-статистические теории Ферми успешно применялись также в науке о материалах.
В Ферми-газе как системе свободных фермионов частицы не взаимодействуют друг с другом, в отличие от Ферми-жидкости. В зависимости от того, как протоны и электроны описаны статистикой Ферми, можно сделать первые приблизительные выводы с помощью этой модели газа Ферми. Нельзя забывать, что когда была предложена модель Томаса — Ферми, нейтрон еще не был открыт, так что точность расчетов Ферми вызывает удивление.
Энергия последнего заполненного электронами уровня (или уровня Ферми, nF) описывается следующим выражением:
εF = h2n2F/8mL2 = h2/8m·(N/2L)2,
где N — количество электронов, m — масса электрона, h — постоянная Планка, N/L — электронная плотность газа, которая зависит от L, глубины потенциальной ямы, считающейся в данном случае одномерной (краевая задача). Определим волновой вектор Ферми:
kF = 2πnF/L.
В идеальном случае со сферой с радиусом kF поверхность Ферми будет определена как поверхность, отделяющая населенные уровни от пустых в пространстве импульсов (см. рисунок). Энергию Ферми можно записать в зависимости от kF в данном случае
εF = h2k2F/8πm.
Определение скорости Ферми (vF) следующее: это скорость, с которой фермион двигается на поверхности Ферми:
vF = √(2εF/m) = hkF/2πm.
Эти параметры характеризуют электроны, населяющие последний энергетический уровень в металлах (уровень Ферми). Зная их, можно подсчитать, когда они перейдут в зону проводимости. Это позволило развиваться полупроводникам и современной электронике.
Распределение энергии фермионов в Ферми-газе устанавливается посредством плотности, температуры и совокупности свободных энергетических уровней, следуя статистике Ферми — Дирака, как мы видели в предыдущей статье.
В 1927 году Паули успешно использовал статистику Ферми для объяснения парамагнетизма щелочных металлов, таких как литий. В том же году Зоммерфельд применил ее к свободным электронам в металле, хотя уже в 1900 году немецкий физик Пауль Друде изучал проводимость на примере классического газа. Свободные электроны металлов являются причиной электрической проводимости, и их надо отличать от электронов, которые остаются связанными с атомными ядрами и не входят в так называемую зону проводимости.
При температуре ниже, чем температура Ферми, газ может считаться вырожденным, и следовательно, давление Ферми имеет место только благодаря принципу исключения. Температура Ферми зависит от массы задействованных фермионов и от плотности энергетических уровней. Для металлов она равна тысячам градусов Кельвина. Максимальная энергия фермионов при абсолютном нуле равна энергии Ферми, которая определяет границу перехода электронов, связанных с ядром, к электрической проводимости.
Итак, в металле одна часть электронов остается при атомах, которые формируют его структуру, а другая, находящаяся на внешних уровнях и орбиталях, становится газом свободных электронов (см. рисунок на следующей странице). Их можно легко сдвигать с помощью внешних электромагнитных полей. Таким образом, батарейка может легко вызвать движение электронов в металле и, следовательно, электрический ток.