— Как тебе сказать… Первую попытку применить математику в логике сделал итальянский монах Лýллий в XIII веке. В XVII веке этим вопросом занимался великий немец Лéйбниц. Но окончательно это удалось англичанину Бýлю только в XIX веке. Правда, открытие его дожидалось признания около ста лет. Зато теперь булева алгебра пользуется всеобщим уважением. Достаточно сказать, что она играет не последнюю роль в устройстве так называемых думающих машин. А это, пожалуй, самые сложные машины на свете!
Теперь они очутились на цветущем солнечном лугу. Здесь мирно пощипывали сочную зелёную траву коровы и овцы, резвились длинногривые лошади и тонконогие жеребята. Чит смотрел на них, но никак не мог понять, при чём тут множества? Да и вообще, что это такое?
Как ни странно, всезнающая Ари долго думала, прежде чем ему ответить, а потом сказала, что точного определения множеству, пожалуй, не подберёшь. Впрочем, представление о множестве всё-таки дать можно, и лучше всего на примерах.
— Погляди вокруг, — предложила она. — Что ты видишь?
— Коров. Лошадей. Овец.
— Все они вместе образуют множество домашних животных на этом лугу. В то же время лошади образуют своё, самостоятельное множество: множество лошадей. Овцы также образуют множество овец, коровы — множество коров. И все эти отдельные множества входят в множество домашних животных. Стало быть, мы имеем право сказать, что каждое из этих трёх множеств есть подмножество множества домашних животных, которые пасутся на этом лугу. Теперь взгляни на лошадей. Одинаковые они или разные?
— Разные. Белые, гнедые, вороные.
— Лошади каждой масти образуют своё множество, которое тоже есть подмножество множества лошадей. А вот дерево, подле которого бродит табун, — входит оно в множество лошадей?
— Пожалуй, нет. Я думаю, дерево входит в множество деревьев.
— Верно. Но можно сказать, что дерево входит в множество всего, что находится на этом лугу. Потому что в множества объединяются не только однородные, но и самые разнородные предметы.
— Хо-хо-хо! — закатился Чит. — Тогда всё, что лежит у меня в кармане, тоже множество?
— Конечно. Хотя представляю себе, что там лежит… А теперь скажи, сколько лошадей в этом табуне… то есть в этом множестве?
Чит насчитал 25 лошадей, и Ари сказала, что, стало быть, в этом множестве 25 элементов. А вот коров — 18. Значит, множество коров состоит из восемнадцати элементов. Множества, где число элементов ограничено, называются конечными.
— А есть и бесконечные? — сейчас же прицепился Чит.
— Есть.
— Небось число элементов в них сосчитать нельзя?
— У иных нельзя, у иных можно. Вот, например, множество чётных чисел бесконечное, но всё-таки счётное.
— Сомневаюсь, — сказал Чит. — Чётным числам, как и всем другим, конца нет. Как же их сосчитать?
— На деле, разумеется, не сосчитаешь. Но умозрительно, чисто теоретически, перенумеровать их можно:
А вот множество точек на отрезке прямой или окружности перенумеровать нельзя. Даже теоретически. Это множество бесконечное и несчётное. Ведь точка в геометрии не имеет никаких размеров. Это понятие воображаемое. И даже на самом крохотном участке прямой умещается такое же множество точек, как и на прямой, соединяющей Землю, скажем, с Луной.
— И ты берёшься это доказать?!
— Берусь, но лучше эдак годика через два.
— А можно множества складывать, вычитать? И тому подобное?
— Конечно. Только здесь свои правила. Впрочем, с ними тебя познакомят в школе.
— У, какая ты неразговорчивая стала! Объясни, по крайней мере, для чего нужны множества?
— Видишь ли, не всем научным открытиям находится применение сразу. Так было с булевой алгеброй. Так было и с теорией множеств немецкого учёного Георга Кáнтора. Долгое время их считали совершенно бесполезными. Но вот возникла кибернетика, появились думающие машины. И то, что казалось бесполезным, стало жизненно необходимым. Булева алгебра и теория множеств учат машины логически мыслить, правильно отбирать нужные сведения из множества множеств, объединяющих самые разные понятия…
— Постой, Ари, — недовольно перебил Чит, — ты совсем меня запутала! Что общего между булевой алгеброй и теорией множеств?
— Очень много. Во-первых, они пользуются одними и теми же математическими приёмами и правилами. Во-вторых, ты уже знаешь, что логика и математика вообще неразлучны. Они постоянно обогащают и совершенствуют друг друга. За примером недалеко ходить: исследуя бесконечные множества, учёные до того усовершенствовали логику своих рассуждений, что это положило начало новой отрасли математики — математической логике. Между прочим, таких заслуг у теории множеств порядочно. Можно смело сказать, что из неё вытекает чуть ли не вся современная математика. Но это уж разговор не для тебя. А мы ведь ещё не исчерпали множества остановок нашего маршрута!