Все.
Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним. Мы доказали это, и теперь оговорку в скобке в конце 36-й страницы можно зачеркнуть.
Если внимательно и дотошно проанализировать весь путь… Если проверить, какие аксиомы мы использовали для доказательства теоремы о внешнем угле… А для этого надо, конечно, проверить и те аксиомы, что были использованы при доказательствах теорем о равенстве треугольников и равенстве вертикальных углов.
Если все это проделать, то окажется, что практически мы использовали почти все аксиомы.
Но нигде, нигде по пути мы не использовали ни самого понятия о непересекающихся (параллельных) прямых, ни (тем более!) теорем или аксиом о таких прямых.
В этом каждый может без труда убедиться, вооружившись списком аксиом и проанализировав все Понятия, необходимые для теоремы о внешнем угле и всех вспомогательных теорем.
Наш экскурс уже затянулся; пора вернуться к аксиомам.
Во-первых, установим, каким логическим требованиям они должны удовлетворять.
Требований всего два:
1) полнота;
2) независимость.
Первое означает, что аксиом должно быть достаточно, чтобы доказать или опровергнуть любое возможное утверждение о наших первичных Основных Понятиях или о более Сложных Понятиях, образованных из первичных.
Второе — что мы не переусердствовали с выбором аксиом. Их у нас ровно столько, сколько надо. И ни одна из этих наших аксиом не может быть доказана либо опровергнута с помощью других.
Оба эти требования можно сформулировать в одной фразе. Аксиом должно быть необходимо и достаточно.
Необходимость — это требование полноты.
Достаточность — требование независимости.
Совсем-совсем грубо говоря, требования необходимости и достаточности означают, что аксиом должно быть ровно столько, сколько нужно. Не больше и не меньше.
Теперь можно сделать очень важное уточнение.
Из независимости аксиом сразу следует их непротиворечивость. Действительно, если, развивая геометрию, на каком-то этапе мы получим теорему, противоречащую остальным, то это будет неприятным сигналом, что в фундаменте что-то неладно. Именно: одна (или несколько) аксиом противоречат остальным.
Но если противоречат — значит не независимы.
Все эти логические рассуждения, в сущности, предельно просты. Но с первого чтения они могут показаться затруднительными. Лучшее, что можно порекомендовать в этом случае, — прочесть еще раз.
А пока же еще раз подчеркнем, что требование независимости аксиом сильнее, жестче, чем требование непротиворечивости.
Аксиомы могут быть непротиворечивы, но из непротиворечивости еще не ясно, не есть ли какая-нибудь из них следствие остальных, не теорема ли она. И естественно, предлагая любую систему геометрических аксиом, математик обязан доказать их независимость! Здесь мы временно оборвем все наши рассуждения. И время и случай вернуться к ним у нас будут. И могу поручиться, мы не упустим случая и не потеряем время.
Хотя все, что написано чуть раньше, довольно просто, и, смею надеяться, читатели разделяют это мнение, Евклид всего этого не знал. Вообще-то интуитивно он чувствовал все это, но оформить в четкую логическую схему не мог.
А строгая постановка проблемы независимости аксиом, или строгое введение Основных Понятий, вообще была недоступна не только грекам, но и математикам всех эпох и народов вплоть до XIX столетия.
И аксиоматика и доказательства Евклида на деле — довольно пестрая смесь интуиции и логических пробелов, если… оценить с нынешних позиций.
Но, с другой стороны, Евклид так резко и значительно продвинулся на пути к строгой логике, что все остальные учебники, все прочие «начала», имевшие хождение в древности, бесповоротно и окончательно померкли перед «Началами».
И если, вспоминая Гомера, греки полагали лишним называть его имя, а говорили просто — «поэт», то Евклида называли «творец «Начал».
Все предшественники его на дедуктивном пути построения геометрии были забыты.
Были «Начала», и был их творец — Евклид.
И хотя тринадцать книг, написанных Евклидом, содержали, как полагают, в основном чужие результаты, и потому иногда дебатируют — можно ли причислять его к величайшим математикам, — величайшим педагогом он был бесспорно. Добавим еще, что, как видно, был он исключительно увлекающимся своим делом и разносторонним ученым, ибо, помимо «Начал», он написал: «Начала музыки», «Оптику», «Клатоптрику», «Данные», «Феномены» (это работа по астрономии), «Гармонические правила»; затем работы, дошедшие до нас и исчезнувшие: «Поризмы» (в трех книгах), «Конические сечения» (в четырех книгах), «Перспектива» (в двух книгах), «Места на поверхности», «О делении» и «О ложных представлениях».