Список весьма достойный.
Большинство книг, правда, неоригинальны по содержанию, но работа проделана колоссальная. Кстати, книгу «Данные» исключительно ценил сам Ньютон, а это довольно солидная рекомендация. Сам он, по-видимому, существенно продвинул сложнейший, интереснейший раздел греческой геометрии — учение о конических сечениях. Но не включил эти результаты в «Начала», поскольку существовало мнение, что эта область недостойна «чистой математики, цель которой — приблизить человека к божеству».
Почему именно теория конических сечений не приближала к божеству, установил все тот же Платон. Дело в том, что использование в геометрии каких-либо инструментов, кроме циркуля и линейки, или — что эквивалентно — использование геометрических мест точек, помимо окружности и прямой (а такие геометрические места требовались при изучении конических сечений), он полагал ересью. И со всей страстью он предавал анафеме великолепного геометра Менехма (своего друга, между прочим), который показал, что решение пресловутой задачи об удвоении куба, так же как трисекции угла, довольно просто найти, если использовать новые геометрические инструменты.
Платон утверждал, что все это «губит и разрушает благо геометрии, так как при этом она уходит от бестелесных и умопостигаемых вещей к чувственным и пользуется телами, нуждающимися в применении орудий пошлого ремесла».
Очевидно, такая отповедь устрашила беднягу Евклида, а его работа «О конических сечениях» бесследно исчезла для нас.
В «Началах» ему как будто принадлежит нечто в учении о правильных многогранниках. В XIII книге доказывается, что существует всего пять различных типов таких тел. Это блестящий, неожиданный, знаменитый… короче — классический результат.
Вообще-то в «Началах» рассказывается не только о геометрии. В них есть и элементы теории чисел и геометрическая теория иррациональных величин. Три последние книги посвящены стереометрии. И каждому разделу предшествуют аксиомы и постулаты.
Собственно, планиметрии отведено шесть первых книг. И самая первая начинается с аксиом и постулатов.
Историки математики до сих пор не могут окончательно договориться, как именно Евклид различал аксиомы и постулаты.
В общем у Евклида аксиомы (он сам называет их «общие достояния нашего ума») — истины, относящиеся к любым (а не только к геометрическим) объектам. Например, если А равно С и В равно C, то А равно В. Здесь А и В могут быть числа, отрезки, веса тел, треугольники…
Постулаты же — чисто геометрические аксиомы. Например, первый постулат Евклида: «От каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую линию».
Есть у Евклида и Основные Понятия.
Приводить всю его систему аксиом вряд ли стоит, потому что — мы уже раз десять говорили это — она совершенно неудовлетворительна. Собственно, аксиом планиметрии у Евклида шесть, и мы их опустим. Но постулаты процитируем. Вот первые четыре.
«Нужно потребовать:
I. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II. Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно.
III. Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. Чтобы все прямые углы были равны между собой».
Не будем пока подчеркивать плохое в этих постулатах. Простим на время Евклиду и «Началам» все «первобытные недостатки» их, как выразился однажды Николай Иванович Лобачевский. Сейчас нам важно, что все четыре постулата очень элементарны по содержанию. Евклид постулирует здесь абсолютно естественные, понятные, неотъемлемые от нашего сознания, нашей интуиции истины. Все хорошо. И…
Следует пятый постулат.
Глава 3
Пятый постулат
Вот он, постулат V.
Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d (180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.
Чего стоит одна формулировка! Во-первых, масса слов. Во-вторых, сколько геометрических понятий! Человек, незнакомый с основами геометрии, вообще ничего не поймет. Постулат совершенно не похож на предыдущие. Он звучит как теорема. И не слишком простая. Он явно выглядит странно. И прежде чем мы пойдем дальше, позвольте преклониться перед Евклидом.