Хотя у меня, естественно, нет доказательств, я убежден: пятый постулат сознательно сформулирован в столь нехорошей форме. И в этом таится великая мудрость «творца «Начал».
Из всех возможных формулировок пятого постулата Евклид выбрал наисложнейшую, наинеуклюжейшую. Почему? Чтобы ответить, посмотрим, как он строит геометрию.
После аксиом и постулатов Евклид, естественно, доказывает теоремы. И 28 первых теорем он доказывает, игнорируя пятый постулат. Для этих теорем он не нужен. Они — эти «28» — безразличны к пятому постулату. Они, как говорят, относятся к абсолютной геометрии.
Среди «28» есть и теорема о внешнем угле треугольника. У Евклида она идет за № 16. Заключают список, как, вероятно, догадались проницательные читатели, теоремы № 27 и № 28. Эти теоремы содержат так называемую «прямую теорию» параллельных линий. Докажем их, объединив в одну.
Пусть две прямые пересекаются третьей в точках Р и Р1.
Утверждается: если <А = <A1, прямые параллельны.
Доказываем от противного. Допустим сначала, что прямые пересеклись в точке C. Тогда возник Δ РР1С, у которого внешний <A1 равен внутреннему, не смежному с ним <А. Но это невозможно. Теорема — «Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним» — не допускает этого! Следовательно, прямые не могут пересечься при продолжении направо.
Есть вторая возможность. Прямые пересеклись в точке C1. Тогда возникает Δ РР1С1. Для него — <B внешний, а <B1 — внутренний, не смежный с <B.
Но <B = <A; <B1 = <A1 как вертикальные.
Однако <A = <A1 — это дано в условии; значит, <B = <B1.
И по существу, все закончено.
Для гипотетического треугольника РР1С1 <В внешний, а <B1 — внутренний, не смежный с ним. И они равны. Но этого не может быть. Значит, Δ РР1С1 существовать не может. И значит, прямые не пересекаются и в точке С1.
Теорема доказана полностью.
Конечно, читателям ясно, что В и В1 были введены, чтобы для гипотетического Δ РР1С1 полностью скопировать ситуацию, которая сразу возникла для Δ РР1С (для первого треугольника).
Теперь, чтобы полностью повторить Евклида, введем в наш рисунок еще четыре угла. Какие — видно на чертеже.
Из равенства <A = <A1 немедленно следует целое семейство равенств.
1. <B = <A1; <C = <D1 — эти углы называются «внешними накрест лежащими».
2. <А = <B1; <D = <С1 — это «внутренние накрест лежащие».
3. <D = <D1; <C = <С1; <B = <B1; и, само собой, <A = <A1. Все эти углы называются соответственными.
<D + <B1 = π;
<А + <С1 = π;
<С + <А1 = π;
<B + <D1 = π.
Здесь выступают внутренние и внешние односторонние углы.
Подчиняясь общепринятому порядку, я привел все эти двенадцать равенств и несколько сожалею об этом. Обилие равенств может затуманить ясный вопрос. А вообще достаточно любого соотношения. Любого — на выбор. Одиннадцать остальных сразу получаются, если справедливо хоть одно. Мы «танцевали» от равенства <A = <A1. Можно было идти от любого другого.
Мы доказали, что, если выполняется любое из наших двенадцати равенств, прямые параллельны. Это и есть две теоремы Евклида: № 27 и № 28.
Кстати, теперь уместно вспомнить, что теорема о параллельности двух перпендикуляров к общей прямой — первая теорема, доказанная в этой книге, — есть частный случай нашей теоремы о параллельных.