В погоне за красотой

Доказав теорему, геометр всегда исследует обратную теорему. В обратной теореме данным считается то, что доказывалось в прямой, а доказывается, естественно, то, что в прямой считалось данным.

С прямыми и обратными теоремами связана одна из самых распространенных логических ошибок начинающих. Часто невольно полагают, что из прямой теоремы автоматически следует обратная.

Как опровергающий пример я могу привести известное рассуждение капитана Врунгеля, которое бережно берег в памяти много лет на этот случай.

Прямая теорема

Всякая селедка — рыба.

Обратная теорема

(Теорема капитана Врунгеля)

Всякая рыба — селедка.

В некоторых традициях популярной литературы следовало бы еще добавить, что этот пример имеет шутливый характер. Но от этого я все же воздержусь.

Примеры из геометрии (евклидовой):

Прямая теорема

I. Если в треугольниках АВС и A₁B₁C₁ стороны АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁ и <А = <А₁, то Δ АВС = Δ А₁В₁С₁.

Обратная теорема

I. Если Δ АВС = Δ А₁В₁С₁, то стороны АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁ и <А = <А₁.

Прямая теорема

II. Два перпендикуляра к общей прямой параллельны.

Обратная теорема

II. Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то они перпендикулярны к ней.

Прямая теорема

III. Если Δ АВС подобен Δ А₁В₁С₁, то АВ/А₁В₁ = АС/А₁С₁.

Обратная теорема

III. Если для треугольников ABC и А₁В₁С₁ справедлива пропорция АВ/А₁В₁ = АС/А₁С₁ то треугольники подобны.

В примере IV мы в честь номера объединим сразу четыре теоремы.

Прямая теорема

IV. Если Δ АВС равнобедренный (АВ = ВС),

то 1) <А = <С;

2) высоты,

или медианы,

или биссектрисы углов А и С равны.

Обратная теорема

IV. Если в Δ АВС

1) <А = <С;

2) высоты,

или медианы,

или биссектрисы углов А и С равны, то треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС).

В этих примерах все прямые теоремы правильны. В каких случаях справедливы и обратные теоремы, читателям предоставляется возможность установить самостоятельно.

Любопытно, между прочим, что зачастую хотя обратная теорема совершенно правильна, но найти ее доказательство несравненно сложней, чем для прямой. Понятно, такой случай есть и в наших примерах.

Теорема 2 из примера IV — равенство биссектрис в равнобедренном треугольнике — доказывается очень несложно. Обратная же (раскроем секрет — абсолютно верная теорема) — довольно хитрая геометрическая задача.

После доказанной нами теоремы о параллельных, естественно, проверить обратную теорему. Сформулируем ее.

Прямая теорема о параллельных прямых

Если при пересечении двух прямых третьей оказалось, что <А + <C₁ = π (или выполняется любое из 12 равенств, приведенных раньше), прямые параллельны.

Обратная теорема о параллельных прямых

Если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей окажется, что <А + <C₁ = π (или выполняется любое из 12 равенств, приведенных раньше).

Обратная теорема о параллельных взята Евклидом как постулат V. Если же придерживаться цитатной точности, то у Евклида пятый постулат записан в чуть отличном виде.

Напомним определение, открывающее эту главу. Оно стоит этого.

Постулат V. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов (то есть сумма <А + <C₁ меньше 2π (180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2π.