Тоже весьма наглядное утверждение. Вместо постулата Евклида тут постулируется один его частный случай. Легко увидеть, что этого вполне достаточно, чтобы доказать пятый постулат в евклидовой форме (обратную теорему о параллельных). Впрочем, для тех, кто только знакомится с геометрией, это достойная и довольно сложная задача, вполне заслуживающая внимания. Я приведу здесь некоторые указания, предоставляя желающим довести дело до конца.
Те, у кого это предложение не вызывает энтузиазма, могут спокойно пропустить всю математику. А мы примем постулат Лежандра — перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются — и будем доказывать постулат V в форме Евклида — обратную теорему о параллельных прямых.
Докажем сначала вспомогательную теорему — лемму.
Пусть при пересечении двух прямых I и II третьей оказалось, что <А < π/2, а сумма <А + <С1 = π. Тогда согласно «прямой теореме» мы знаем, что эти прямые не пересекаются — они параллельны.
Просмотрите снова доказательство «прямой теоремы».
Из точки С опустим перпендикуляр на прямую I.
Это всегда можно сделать. Соответствующая теорема была доказана без всякого участия понятий о параллельных.
Докажите, что при принятом условии (<А < π/2) перпендикуляр СВ будет расположен так, как показано на чертеже.
Доказывайте от противного и используйте теорему о внешнем угле треугольника.
Далее имеем: <D + <N = <C1, Буква N выбрана, чтобы напоминать о слове «неизвестный».
Затем имеем: <A + <D + <N = π.
(Вспомните условие!)
Рассмотрите теперь Δ АВС.
Для суммы его углов есть три возможности.
<A + <D + π/2 >< π;
Обратите внимание! Нельзя пользоваться теоремой: сумма углов треугольника равна π. Эта теорема — следствие постулата о параллельных.
Рассмотрите сначала гипотезу: <A + <D + π/2 > π.
Сравните это неравенство с равенством <A + <D + <N = π и получите: <N < π/2.
Использовав теперь постулат Лежандра, вы получите, что прямые I и II пересекаются справа от точки В. А это противоречит условию. Следовательно, гипотеза ошибочна.
Рассмотрите теперь гипотезу <A + <D + <N < π.
Совершенно аналогично покажите, что в этом случае прямые I и II пересекутся слева от точки В; отбросьте и эту гипотезу.
Вы доказали сразу две важные теоремы:
1. Сумма углов Δ АВС равна π;
2. Угол N равен 90°.
Теперь докажите «обратную теорему о параллельных», использовав следующее вспомогательное построение.
Дано: пусть при пересечении I и II третьей оказалось, что <A + <C1 < π, причем <А < π/2.
1. Опустите из точки В перпендикуляр на прямую I.
2. Проведите через точку В заведомо параллельную прямую II, то есть прямую, удовлетворяющую «прямой теореме о параллельных». Докажите, что она пройдет так, как показало на чертеже.
Минуту подумайте теперь и снова, использовав постулат Лежандра, докажите, что прямая II пересечет прямую I.
Тем самым вы «доказали» постулат Евклида. Но не забудьте, что воспользовались эквивалентным постулатом.
Если вы были несколько смущены условием <А < π/2, убедитесь, что оно не ограничивает общности рассуждения.
Проверьте теперь, нет ли в рассуждении ошибок.
Приведенное доказательство имеет по меньшей мере две примечательные особенности.
Во-первых, мы попутно доказали, что стоит принять постулат Лежандра — эквивалент постулата Евклида, как нашелся треугольник, сумма углов которого равна π.
Во-вторых, я нигде не читал этого доказательства, а придумал его за несколько минут. Пишу это отнюдь не из честолюбивой надежды, что читатель будет восхищен моим математическим талантом.