В самом деле: есть у палки середина или нет? Для решения этого животрепещущего вопроса президент не пожалел даже собственного карандаша. Он сделал на нем ножом отметину посередине и разрезал пополам.
- Где середина? Нет ее! - Затем Нулик снова соединил обе половинки карандаша. - Вот она, середина! - и снова разъединил. - Опять исчезла!
Так он играл довольно долго, ожидая, вероятно, исчерпывающего объяснения со стороны. Но объяснения все не было. По правде говоря, я и сам не знал, каким образом объяснить ребятам этот забавный парадокс, чем-то похожий на софизмы Зенона, которыми мы занимались еще в прошлом году. Уж больно это не просто!
- Мне кажется, дело здесь в том, - решился я наконец, - что слово "середина" имеет смысл лишь тогда, когда речь идет о целом отрезке, в данном случае о целом карандаше. Как только карандаш разрезан пополам, слово "середина" теряет свой смысл. Карандаш, как целое, исчез. Остались две его половинки, и у каждой из них своя середина. Кроме того, середина - это точка, а точка в математике - понятие условное. Нет у нее ни длины, ни ширины, ни толщины. Значит, условно и понятие "середина". Вообразить точку, называемую серединой, можно, но воткнуть в нее реально существующую иглу - пусть самую тонкую, самую острую - нельзя.
- Но ведь втыкаем же мы иглу циркуля в центр окружности? - возразил президент.
Конечно, втыкаем, но неглубоко, - пошутил я. - И так как всякому овощу свое время...
- ...не станем углубляться в этот вопрос! Это вы хотели сказать? - спросил Нулик язвительно.
Я с сожалением развел руками.
- Что делать!
- Понимаю! - вздохнул президент. - Переходим к следующей задаче.
- К той, что задал Магистру Главный Кубист и Шарист? - спросил Сева.
- К той самой, - кивнул Нулик. - И какой же он неблагодарный, этот Кубист и Шарист! Магистр решил его задачу, а он даже спасибо не сказал!
- С чего ты взял, что Магистр решил задачу?
- А разве нет? Ведь шар в самом деле можно вписать в куб, и в кубе после этого еще останется немножко незаполненного места. Стало быть, объем и поверхность куба чуть больше, чем у шара.
- Положим, не чуть, - сказал Сева, - а примерно раза в два. Но дело ведь не в этом, а в том, сколько потребуется бумаги, чтобы обклеить шарики и кубики с увеличенными в восемь раз объемами.
- Наверное, для этого надо узнать, во сколько раз увеличилась при этом поверхность, - сообразил Нулик.
- Наконец я слышу речь не мальчика, но мужа! - сказал Сева, не устояв перед соблазном лишний раз процитировать Пушкина. - И ты сейчас сам убедишься, что это совсем нетрудно.
- Кому как! - мрачно буркнул Нулик.
- Начнем с шара, - продолжал Сева, не обращая внимания на эту реплику. Сперва займемся его объемом. Как и всякий объем, объем шара измеряется в кубических единицах и пропорционален кубу его радиуса. Значит, если объем увеличился в восемь раз, то радиус увеличился только в два раза.
- Как так?
- Очень просто - ведь корень кубический из восьми равен двум. Теперь выясним, что станет с поверхностью шара. Как известно, поверхность шара измеряется в квадратных единицах и пропорциональна квадрату радиуса. Выходит, если радиус увеличился вдвое, то поверхность шара увеличится в два в квадрате раза, то есть в четыре, а не в восемь раз, как полагает Магистр.
- Понятно! - хмуро согласился Нулик. - Но теперь нам предстоит еще вычислить объем и поверхность куба.
- Ну это легче легкого. Ведь объем куба пропорционален кубу его ребра, а поверхность - квадрату этого ребра. Значит, увеличь объем куба в восемь раз, поверхность его, как и поверхность шара, само собой увеличится...
- ... в четыре раза! - поспешно завершил президент.
Итак, с шарами и с кубами покончили. Теперь можно было перейти к самому главному: к шифру загадочного телефона. И тут, словно почувствовав, что дело касается его лично, проснулся и громко залаял Пончик.
- Учуял преступников! - многозначительно поднял палец президент. - Собаки - у них такая интуация...
- Интуиция, Нулик, интуиция! - ангельским тоном поправил Сева и без всякого перехода спросил: - Кто из нас займется вскрытием сейфа?
- Дело темное, - сказала Таня. - Поэтому предоставим его Олегу.
- Как опытный взломщик, могу сказать, что дело не такое уж темное, усмехнулся Олег. - Была бы ты чуть внимательнее, так разгадала бы шифр сама.
- Я только одно знаю, - заявил Нулик, что в этом шифре десять цифр. Потому что дверца сейфа открылась после десяти поворотов диска.
- Весь вопрос в том, что это за цифры! - сказал Олег. - Давайте внимательно всмотримся в запись Единички. Что там написано? Там написано вот что:
1 5 xx 30 55 xx.
Неизвестными в этом шифре остаются два двузначных числа - те, что были в третьем и последнем карманчиках. Как их найти?
- Надо поискать, нет ли между числами этого ряда какой-нибудь зависимости, - предложила Таня. - Вот, например, разность между вторым и первым числом, то есть между пятью и единицей, равна четырем...
- Разность между 55 и 30 равна 25, - продолжал Сева.
- И какой из этого вывод? - недоумевал Нулик.
- Да такой, что 4 и 25 - это квадраты целых чисел, - объяснил Олег.
- А ведь верно! - обрадовался Нулик. - 4 - квадрат двух, а 25 - квадрат пяти. Так, может быть, разности между другими соседними числами тоже квадраты?
- Добавь, квадраты последовательных целых чисел, - уточнила Таня. - Если это так, то здесь за квадратом двух должен следовать квадрат трех, то есть 9. Тогда в третьем карманчике должно стоять число 14. Потому что 14 минус 5 как раз и есть 9.
- Ну конечно! - ликовал Сева. - А разность между 30 и 14 равна 16, то есть квадрату следующего натурального числа - четырех.
- Выходит, - сосредоточенно соображал Нулик, - в последнем карманчике должно стоять число 55 плюс квадрат шести, то есть 55 плюс 36. А это 91.
- Вот спасибо! - сказал Олег, посылая Нулику воздушный поцелуй. - Теперь вместо крестиков впишем найденные числа, и шифр готов:
1 5 14 30 55 91.
Вот в какой последовательности набирала Единичка цифры на диске.
- Леди и джентльмены, - торжественно провозгласил Сева, - сейф открыт!
- Сейф-то открыт, - вздохнул Нулик, - а Магистр с Единичкой в ловушке. Просто не знаю, как я доживу до следующего письма...
- Не горюй, старик! - ободрил его Сева. - Мы еще чокнемся апельсиновым соком в честь благополучного возвращения наших путешественников!
ПОСЛЕДНИЙ РЕПОРТАЖ РАССЕЯННОГО МАГИСТРА
Неожиданный союзник
Напрасно я усомнился в своем везении. Пусть, как царя Поликрата, сжимает меня кольцо неудач, - смеется все-таки тот, кто смеется последний!
Трое злоумышленников, то бишь Черный Лев, Шейк-Твист делла Румба и Альбертини-Джерамини, вывинтили единственную в комнате электрическую лампочку, заперли нас на ключ и ушли, прихватив с собой содержимое сейфа. И вот мы с Единичкой оказались одни, в темноте, отрезанные от всего мира.
В таком положении, как известно, не остается ничего другого, как заняться размышлениями. Между нами говоря, я до некоторой степени даже благодарен моим тюремщикам - ведь из-за них я получил возможность отвлечься от повседневной суеты и сосредоточиться на важных и безотлагательных проблемах. Во-первых, необходимо было составить подробный отчет о моей поездке, во-вторых, придумать способ выбраться из заточения и, наконец, в-третьих, решить одну сложнейшую математическую задачу, над которой я бьюсь уже три года.
Что до задачи, то, поскольку она ждет решения давно, ничего ей не сделается, если она подождет еще немного. Отчет, пожалуй, лучше всего писать дома. Таким образом, остается один вопрос, который выгоднее всего решать на месте: как отсюда выбраться?
Но он-то, этот вопрос, и оказался самым трудным, потому что давно ли мы тут сидим, я сказать не мог, хотя, по моим расчетам, вчерашний день еще не кончился. Темнота, тишина и непривычно умолкнувшая Единичка - все это навевало на меня сон. И - можете негодовать сколько угодно! - я не стал ему противиться.