В школе, как правило, учат ровно одному способу поиска простых делителей числа. Заключается он в том, чтобы пробовать по очереди все потенциальные делители, пока не найдется такой, на который число разделится нацело. Если вы не нашли ни одного делителя к тому моменту, как добрались до корня квадратного из первоначального числа — точнее, до наибольшего целого числа, меньшего или равного этому корню, — то число это простое. В противном случае вы найдете множитель, разделите на него и продолжите с новым числом с того же места. Эффективнее всего пробовать только простые делители, но для этого необходим список простых чисел. Поиск останавливается на корне квадратном из числа, потому что наименьший делитель любого составного числа не превосходит корень квадратный из этого числа. Однако для больших чисел эта процедура безнадежно неэффективна. К примеру, если взять число
1 080 813 321 843 836 712 253,
то на простые множители оно раскладывается следующим образом:
13 929 010 429 × 77 594 408 257,
и, чтобы добраться до меньшего из двух множителей, вам придется опробовать каждое из первых 624 401 249 простых чисел. Конечно, при помощи компьютера это несложно сделать, но если взять для начала число из 100 цифр, которое — так уж случилось — раскладывается на два множителя по 50 цифр в каждом, то систематический перебор последовательных простых чисел продлится до конца Вселенной и вряд ли успеет дать результат.
Нет, вообще-то современные компьютеры, как правило, умеют раскладывать числа из 100 цифр на простые множители. Моему компу требуется меньше секунды, чтобы найти простые множители числа 1099 + 1 (выглядит это число как 1000 … 001 с 98 нулями). Это число — результат перемножения 13 простых чисел (одно из них повторяется дважды), наименьшее из которых — 7, а наибольшее — 141 122 524 877 886 182 282 233 539 317 796 144 938 305 111 168 717.
Однако если я попрошу компьютер разложить на множители число 10199 + 1, в котором 200 цифр, то жужжать он будет долго, но результата так и не выдаст. Хотя, конечно, даже разложение числа из 100 цифр производит сильное впечатление. В чем тут секрет? В более эффективном по сравнению с последовательным перебором потенциальных простых делителей алгоритме поиска.
Мы сегодня знаем о первой из названных Гауссом задач (проверка числа на простоту) гораздо больше, чем знал он сам, и гораздо меньше, чем хотелось бы, о второй (разложение на простые множители). Здравый смысл говорит о том, что проверка на простоту намного проще разложения на простые множители. Как правило, это удивляет нематематиков, — ведь в школе учат проверять число на простоту тем же методом, что и искать его простые множители: перебором всех возможных делителей. Но, оказывается, существуют хитрые способы доказать простоту числа и без этого. Эти же методы позволяют доказать, что число составное, без нахождения каких бы то ни было его делителей. Достаточно показать, что это число не проходит тест на простоту.
Прапрадедушкой всех современных тестов на простоту может считаться теорема Ферма (чтобы не путать со знаменитой Великой теоремой, о которой речь пойдет в главе 7, ее иногда называют Малой теоремой Ферма). Эта теорема основана на модулярной арифметике, которую иногда называют еще «часовой арифметикой», поскольку числа в ней спирально накладываются друг на друга, как время на циферблате часов. Выберем число — для 12-часовых аналоговых часов это число 12 — и назовем его модулем. Теперь в любых арифметических вычислениях с неотрицательными целыми числами мы договоримся заменять любое число, кратное 12, нулем. К примеру, 5 × 5 = 25, но 24 — это дважды 12, поэтому вычтем из результата 24. Получим 5 × 5 = 1 по модулю 12. Модулярная арифметика очень красива, поскольку почти все обычные арифметические законы в ней тоже работают. Основная разница заключается в том, что мы не всегда можем разделить одно число на другое, даже если это не нуль. Модулярная арифметика полезна также тем, что обеспечивает удобный и аккуратный способ разбираться с вопросами делимости: какие числа делятся на те или иные модули без остатка и чему равен остаток, если это не так. Модулярную арифметику предложил Гаусс в «Арифметических исследованиях», и сегодня она широко используется не только в математике, но и в информатике, физике, инженерном деле.