Но в 1931 году никому не известный двадцатипятилетний математик опубликовал статью, которая навсегда расстроила надежды Гильберта. Курт Гёдель заставил математиков признать, что математика никогда не станет логически совершенной. Неявно в его работе содержалась и та мысль, что некоторые проблемы математики, например, Великая теорема Ферма, могут оказаться неразрешимыми.
Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Моравии, входившей тогда в состав Австро-Венгерской империи, а ныне образующей часть Чехии. В раннем детстве Гёдель перенес несколько заболеваний, самым серьезным из которых был приступ ревматизма в шестилетнем возрасте. Дыхание смерти, которое Гёдель ощутил в столь нежном возрасте, привело к мучительной ипохондрии, которой он страдал всю жизнь. В восьмилетнем возрасте, читая медицинский учебник, Гёдель убедился, что у него слабое сердце, хотя ни один из врачей не находил тревожных симптомов. Позднее, уже в конце жизни, Гёдель ошибочно решил, что его хотят отравить, и, отказавшись от приема пищи, уморил себя голодом.
Еще в детстве Гёдель обнаружил необычайные способности к естественным наукам и математике, и за свою пытливую натуру получил семейное прозвище «господин Почему» (der Herr Warum). Гёдель поступил в Венский университет, так и не сделав выбор между математикой и физикой, но вдохновленный зажигательными и страстными лекциями профессора Ф. Фуртвенглера по теории чисел, решил посвятить себя числам. Лекции были тем более необычными, что Фуртвенглер, парализованный от шеи и ниже, вынужден был читать их, сидя в инвалидной коляске, без конспектов, а его ассистент производил выкладки на доске.
К двадцати с небольшим годам Гёдель стал штатным сотрудником математического факультета, но вместе со своими коллегами нередко участвовал в заседаниях Венского кружка — группы философов, собиравшихся для обсуждения наиболее значительных проблем современной логики. Именно в тот период у Гёделя сложились идеи, подорвавшие самые основания математики.
В 1931 году Гёдель опубликовал свою работу «Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» 5, в которой содержались его так называемые теоремы о неразрешимости. Когда весть о теореме Гёделя достигла Америки, великий математик Джон фон Нейман тотчас же заменил часть своего курса о программе Гильберта обсуждением революционной работы Гёделя.
Гёдель доказал, что попытка создания полной и непротиворечивой математической системы — задача заведомо невыполнимая. Идеи Гёделя можно кратко сформулировать в двух утверждениях. [14]
Первая теорема о неполноте
Если аксиоматическая теория непротиворечива, то существуют теоремы, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты.
Вторая теорема о неполноте
Непротиворечивость теории не может быть доказана теми методами, которые в ней формализуются.
По существу, первая теорема Гёделя утверждает, что какая бы система аксиом ни использовалась, всегда найдутся вопросы, на которые математика не сможет найти ответ, — полнота недостижима. Что еще хуже, вторая теорема Гёделя утверждает, что математики никогда не смогут быть уверены в том, что их выбор аксиом не приведет к противоречию, — непротиворечивость никогда не может быть доказана. Гёдель показал, что программа Гильберта неосуществима.
Через несколько десятилетий в своей книге «Портреты по памяти» Бертран Рассел описывал свое впечатление от открытия Гёделя так: «Я жаждал определенности так же, как другие жаждут обрести религиозную веру. Мне казалось, что найти определенность в математике можно с большей вероятностью, чем где-нибудь еще. Но я обнаружил, что многие математические доказательства, которые, в соответствии с ожиданиями моих учителей, мне надлежало принять за истинные, обременены ошибками и что, если определенность действительно может быть обнаружена в математике, то произойдет это в новой области математики с более надежными основаниями, чем те, которые считались надежными прежде. По мере того, как работа продвигалась, мне постоянно приходила на ум басня о слоне и черепахе. Построив слона, на котором мог покоиться математический мир, я обнаружил, что слон нетвердо стоит на ногах, и приступил к построению черепахи, которая удержала слона от падения. Но черепаха оказалась не более надежной, чем слон, и после двадцати с лишним лет напряженнейшего труда я пришел к заключению, что нет ничего, что я бы не сделал, дабы придать математическому знанию непоколебимость».
Вторая теорема Гёделя утверждает, что невозможно доказать непротиворечивость аксиом, но это не обязательно означает, что аксиомы противоречивы. Многие математики все еще верят в глубине сердца, что их математика останется непротиворечивой, но не могут это доказать. Через много лет выдающийся специалист по теории чисел Андре Вейль заметил: «Бог существует потому, что математика непротиворечива, а дьявол существует потому, что мы не можем доказать это».
В действительности, и формулировка и доказательство теорем неполноты Гёделя крайне сложны. Например, строгая формулировка первой теоремы неполноты имеет следующий вид:
Каждому ω-непротиворечивому рекурсивному классу κ формул соответствует такой рекурсивный класс ζ знаков r, что ни ν Gen r, ни Nеg(Gеn r) не принадлежит Flg(k) (где ν — свободная переменная класса r).
К счастью, подобно тому, как история с библиотекарем помогает понять парадокс Рассела, первую теорему о неполноте Гёделя можно проиллюстрировать на другой логической аналогии, которая принадлежит Эпимениду и известна под названием парадокса критянина, или парадокса лжеца. Эпименид был критянином, который воскликнул:
Я лжец!
Парадокс возникает, когда мы попытаемся определить, истинно или ложно утверждение Эпименида. Посмотрим, что произойдет, если предположить, что это утверждение истинно. Из истинного утверждения следует, что Эпименид лжец. Но мы приняли предположение о том, что он высказал истинное утверждение, и, следовательно, Эпименид не лжец. Мы приходим к противоречию.
Теперь предположим, что утверждение Эпименида ложно. Из ложности утверждения следует, что Эпименид не лжец. Но мы приняли предположение, что он высказал ложное утверждение. Следовательно, Эпименид лжец, и мы снова приходим к противоречию. Таким образом, что бы мы не предположили об истинности утверждения Эпименида, мы неизменно приходим к противоречию. Следовательно, утверждение Эпименида не истинно и не ложно.
Гёдель нашел новую интерпретацию парадокса лжеца и ввел понятие доказательства. Результатом его новаций стало следующее утверждение:
Это утверждение не имеет никакого доказательства.
Если бы это утверждение было ложным, то оно было бы доказуемым, но это противоречило бы самому утверждению. Следовательно, во избежание противоречия, утверждение должно быть истинным. Но это утверждение не может быть истинным в силу самого утверждения (о котором мы теперь знаем, что оно должно быть истинным).
Поскольку Гёделю удалось записать это утверждение в математических обозначениях, он смог доказать, что в математике существуют утверждения, которые истинны, но истинность их не может быть доказана, — так называемые неразрешимые утверждения. Для программы Гильберта это было смертельным ударом.
14
Обе теоремы относятся к достаточно богатой математической теории (например, к аксиоматике Пеано теории целых чисел или системе аксиом Цермело–Френкеля). Следует иметь в виду, что здесь приводятся не точные формулировки теорем, а их популярная интерпретация.