y2 = x3–2,
где a=0, b=0, c=–2, имеет только одно решение в целых числах, а именно:
52 = 33-2, или 25 = 27-2.
Доказать, что это уравнение имеет только одно решение в целых числах — трудная задача. Этот факт доказал Пьер Ферма. В гл. 2, как вы, возможно, помните, мы упоминали о том, что 26 — единственное число во всей Вселенной, заключенное между квадратом и кубом. Доказал это также Ферма. Его доказательство эквивалентно доказательству того, что приведенное выше кубическое уравнение имеет только одно решение в целых числах, т. е. 52 и 33 — единственные квадрат и куб, разность которых равна 2, т. е. 26 — единственное целое число, которое может быть заключено между квадратом и кубом.
Особое очарование кубическим уравнениям придает то, что образно говоря они занимают нишу между более простыми уравнениями, решения которых почти тривиальны, и более сложными, решить которые невозможно. Изменяя значения a, b и c в общем кубическом уравнении, можно получить бесконечное множество уравнений, каждое из которых обладает своими характерными особенностями, но все эти уравнения поддаются анализу.
Первыми изучали кубические уравнения древнегреческие математики, в том числе Диофант, который посвятил изучению их свойств большие разделы своей «Арифметики». Возможно, именно под влиянием Диофанта занялся изучением кубических уравнений Ферма, а поскольку его излюбленный герой исследовал такие уравнения, Уайлс был счастлив продолжить эти исследования. Для начинающих математиков, вроде Уайлса, кубические уравнения представляли крепкий орешек даже через две тысячи лет после Диофанта. По словам Уайлса, «они были очень далеки от полного понимания. Существует множество простых на первый взгляд вопросов относительно кубических уравнений, все еще остающихся нерешенными. Даже вопросы, которые рассматривал еще Ферма, до сих пор остаются без ответа. В каком-то смысле вся математика, которую мне удалось разработать, восходит если не к Великой теореме Ферма, то к другим его идеям».
В качестве первого шага исследования можно не находить решения явно, а поставить вопрос: сколько решений вообще может быть? Как правило, и на этот вопрос ответить очень сложно, однако математики придумали способ как упростить эту задачу. Например, кубическое уравнение
x3 — x2 = y2 + y
почти невозможно решить напрямую. Одно, тривиальное, решение очевидно: x=0 и y=0. Действительно,
3 — 02 = 02 + 0.
Чуть больший интерес представляет собой решение x=1 и y=0:
13 — 12 = 02 + 0.
Возможно, существуют и другие решения, но если принять во внимание, что перебору подлежит бесконечное множество целых чисел, то станет ясно, что составление полного списка решений этого уравнения в целых числах — задача невозможная. Более простой задачей является поиск решений в конечном числовом пространстве — так называемой арифметике вычетов[16].
Ранее мы видели, что целые числа можно мыслить как отметки на числовой прямой, простирающейся в бесконечность, как показано на рис. 16. Чтобы сделать числовое пространство конечным, арифметика вычетов отрезает от числовой прямой определенную часть и замыкает ее в петлю, образуя вместо числовой прямой числовое кольцо. На рис. 17 вы видите часы с пятью пометками: от числовой прямой отрезана часть по отметке 5, и конец ее склеен с отметкой 0. Число 5 при этом исчезает и становится эквивалентным 0, поэтому в новой арифметике — арифметике вычетов по модулю 5 — фигурируют только числа 0, 1, 2, 3, 4. 7
Рис. 16. Обычные арифметические действия можно представить как передвижения направо и налево по числовой оси
В обычной арифметике мы мыслим сложение как сдвиг по прямой на несколько делений — зазоров между отметками. Например, сказать: 2+4 = 6 — то же самое, что сказать: начните с отметки 2, сдвиньтесь вдоль числовой прямой на 4 деления и вы получите число 6. Но в арифметике вычетов по модулю 5 получаем, что
4 + 2 = 1.
Так происходит потому, что если мы начнем с отметки 4 и сдвинемся по окружности на 2 деления, то вернемся к отметке 1. Новая арифметика может показаться непривычной, но в действительности, мы пользуемся ей ежедневно, когда речь заходит о времени. Четыре часа после 11 (т. е. 11+4) обычно принято называть не 15, а 3 часами. Это — арифметика вычетов по модулю 12.
Помимо сложения в «часовой» арифметике можно производить и все другие обычные математические операции, например, умножение. В арифметике вычетов по модулю 12 имеем: 5·7=11. Такое умножение можно представить себе следующим образом: начав с отметки 0 и сдвинувшись на 5 групп из 7 делений в каждой, вы в конце концов дойдете до отметки 11. Это лишь один из способов мысленно представить себе умножение в этой арифметике; существуют более хитрые приемы, позволяющие ускорить вычисления. Например, чтобы вычислить 5·7, мы можем для начала просто вычислить обычное произведение, которое равно 35. Разделив затем 35 на 12, мы получим остаток, который и дает ответ на интересующий нас вопрос. Число 12 содержится в 35 дважды и плюс остаток 11, поэтому произведение 5·7 в арифметике вычетов по модулю 12 равно 11. Это равносильно тому, что мы мысленно дважды обошли циферблат, и нам осталось пройти еще 11 промежутков.
Так как в арифметике вычетов конечное число элементов, то в ней сравнительно легко найти все возможные решения любого уравнения. Например, не составляет труда перечислить все возможные решения кубического уравнения
x3 — x2 = y2 + y
в арифметике вычетов по модулю 5. Вот они:
x = 0, y = 0,
x = 0, y = 4,
x = 1, y = 0,
x = 1, y = 4.
Хотя некоторые из этих решений не являются решениями в целых числах, в рассматриваемой арифметике вычетов все они — решения. Например, подставим значения (x=1, y=4) в наше уравнение:
x3 — x2 = y2 + y,
13 — 12 = 42 + 4,
1 — 1 = 16 + 4,
0 = 20.
Но число 20 эквивалентно 0, так как число 5 делит число 20 с остатком 0.
Поскольку найти число решений кубического уравнения в целых числах крайне трудно, математики решили сначала определить число решений в различных арифметиках вычетов. Для приведенного выше уравнения число решений в арифметике по модулю 5 равно четырем. Это записывают так: E5 = 4. Можно подсчитать число решений и в других арифметиках. Например, в арифметике вычетов по модулю 7 число решений равно 9, т. е. E7 = 9.
Подводя итог своим вычислениям, математики составили список числа решений в каждой из арифметик вычетов и назвали его L-рядом эллиптической кривой (или соответствующего кубического уравнения). Что, собственно, означает здесь буква L, все давно забыли. Считается, что L означает Густава Лежена Дирихле, который также занимался изучением кубических уравнений. Для ясности я буду использовать обозначение «E-ряд» — ряд, полученный для кубического уравнения. Для приведенного выше уравнения E-ряд выглядит так.
Уравнение: x3 — x2 = y2 + y;
E-ряд: E1 = 1, E2 = 4, E3 = 4, E4 = 8, E5 = 4, E6 = 16, E7 = 9, E8 = 16, …
Пока не известно, сколько решений имеют кубические уравнения в обычном числовом пространстве, которое бесконечно, E-ряды заведомо лучше, чем ничего. В действительности, E-ряд содержит в себе значительную долю информации о том уравнении, которое оно описывает. Подобно тому, как биологическая ДНК несет в себе всю информацию, необходимую для построения живого организма, E-ряд несет в себе наиболее существенную информацию об эллиптической кривой. Математики питали надежду, что E-ряд — это своего рода математическая ДНК, и что при помощи его они в конечном счете смогут вычислить все, что им хотелось бы знать об эллиптической кривой.
16
Название арифметика вычетов, или арифметика остатков, происходит от того, что в ней рассматриваются не сами числа, а остатки от деления на какое-либо число, в данном случае на 5.