По существу доказательство по индукции представляет собой процесс, состоящий из двух частей:
1. доказательство того, что утверждение верно в первом случае;
2. доказательство того, что если утверждение верно для какого-нибудь одного случая, то оно должно быть верным для следующего случая.
Другой способ наглядно представить себе доказательство по индукции заключается в том, чтобы бесконечное количество случаев сравнить с бесконечным множеством костей домино. Чтобы доказать каждый случай, необходимо найти способ, позволяющий сбить каждую из костей домино. Если сбивать домино одно за другим, то на это потребуется затратить бесконечно много усилий. Но доказательство по индукции позволяет математикам сбить все домино, сбив только первую кость. Если домино расставлены правильно, то первое домино, упав, собьет второе домино, оно в свою очередь собьет третье и т. д. до бесконечности. Доказательство по индукции порождает эффект домино. Математический аналог этого явления (падая, каждая кость домино, сбивает следующую, поэтому достаточно повалить одну-единственную кость домино, как повалятся все остальные кости до единой) позволяет доказать бесконечно много случаев, доказав один-единственный первый случай. В Приложении 10 показано, как доказательство по индукции можно использовать для доказательства сравнительно простого математического утверждения относительно всех чисел.
Задача, стоявшая перед Уайлсом, требовала построить индуктивное рассуждение, которое показывало бы, что каждой из бесконечно многих эллиптических кривых может быть поставлено в соответствие какая-то из бесконечно многих модулярных форм, и, наоборот, каждая модулярная форма может быть поставлена в соответствие какой-то из бесконечно многих эллиптических кривых. Каким-то образом Уайлсу предстояло разделить доказательство на бесконечно много отдельных случаев, а затем доказать первый случай. Затем Уайлсу требовалось доказать, что, толкнув первую кость домино (доказав первый случай), он вызовет эффект домино (все остальные случаи будут доказаны). И в конце концов Уайлс пришел к заключению, что первый шаг его индуктивного доказательства скрыт в работе одного трагически погибшего математического гения, жившего и работавшего во Франции в XIX веке.
Эварист Галуа родился в Бур-ля-Рейне, небольшой деревушке, расположенной к югу от Парижа, 25 октября 1811 года, ровно через 22 года после Французской революции. Наполеон Бонапарт находился в ту пору в расцвете сил, но в следующем году пережил разгром в Русской кампании и в 1814 году был отправлен в ссылку. На французский трон взошел король Людовик XVIII. В 1815 году Наполеон бежал с острова Эльбы, вернулся в Париж и восстановил свою власть, но через сто дней потерпел поражение в битве при Ватерлоо и был вынужден снова отречься в пользу Людовика XVIII. Подобно Софи Жермен, Галуа рос в период великой смуты, но если Жермен отрешилась от бурных событий Французской революции и сосредоточилась на математике, то Галуа неоднократно оказывался в самом центре политических споров, которые не только помешали ему сделать академическую карьеру, но и привели к его безвременной кончине.
Помимо общей смуты, неизбежно сказывавшейся на жизни каждого француза, интерес Галуа к политике возник под влиянием его отца Николя-Габриэля Галуа. Когда Эваристу Галуа исполнилось четыре года, его отец был избран мэром Бур-ля-Рейна. Это было время триумфального возвращения Наполеона к власти, и либеральные ценности, высоко ценимые отцом Галуа, отвечали тогда духовному настрою нации. Николя-Габриэль Галуа был культурным и обходительным человеком, и в первые годы своего пребывания на посту мэра он снискал уважение всего населения. Даже когда Людовик XVIII опять взошел на трон, отец Галуа был снова выбран мэром. Вне политики его любимым занятием было сочинение эпиграмм, которые он, к восторгу своих сторонников, читал на собраниях жителей города. Много лет спустя именно недюжинный талант эпиграмматиста привел его к падению.
Когда Эваристу Галуа исполнилось двенадцать лет, он поступил в первую свою школу — лицей Людовика Великого, престижное учебное заведение с жесткой дисциплиной. Сразу же скажем, что Галуа не слушал никаких математических курсов, и его успехи вообще не были выдающимися. Но в первый же семестр произошло событие, которое оказало влияние на всю его жизнь. До Революции лицей был иезуитским колледжем, и теперь появились слухи, что лицей снова возвращается под власть священников. В то время между монархистами и республиканцами шли бесконечные споры, равновесие власти между Людовиком XVIII и представителями народа нарушалось в пользу то одной, то другой стороны.
Возрастающее влияние священнослужителей в такой атмосфере могло рассматриваться как указание на перевес власти в пользу короля. Учащиеся лицея, в большинстве своем придерживавшиеся республиканских взглядов, решили поднять восстание, но директор лицея месье Берто раскрыл заговор и, не колеблясь, исключил с десяток зачинщиков. На следующий день, когда месье Берто потребовал от остальных учащихся старших классов демонстративного выражения лояльности, учащиеся лицея отказались поднять тост за Людовика XVIII, после чего было исключены еще сто учащихся. Галуа был еще слишком юн для того, чтобы участвовать в провалившемся восстании, и поэтому остался в лицее. Но унижения, которым на его глазах подверглись его товарищи, только усилили его республиканские настроения.
Лишь в возрасте шестнадцати лет Галуа записался на первый в своей жизни математический курс, который, по мнению преподавателей лицея, превратил Галуа из послушного ученика в учащегося, который сильно выделялся среди остальных. Судя по отметкам, он стал пренебрегать всеми другими предметами и сосредоточил все свое внимание на новом для него предмете, которому он отдался со всем пылом души.
«Этот учащийся занимается только самым высшими разделами математики. Юношей овладело какое-то математическое безумие. Думаю, что для него было бы лучше всего, если бы родители позволили ему заниматься только математикой. Иначе он только напрасно теряет здесь время и мучает преподавателей, навлекая на себя множество наказаний».
Скоро ненасытная жажда математических познаний со стороны Галуа намного превзошла то, что могли ему дать учителя, и Галуа стал учиться по книгам, написанными наиболее выдающимися учеными того времени. Галуа легко усваивал сложнейшие понятия, и к тому времени, когда ему исполнилось семнадцать лет, он опубликовал свою первую работу в журнале «Annales de Gergonne». Казалось, путь, открывавшийся перед вундеркиндом, был ясен.
Единственным препятствием на пути к успеху был необычайный блеск, присущий его разуму. Познания Галуа в математике значительно превосходили тот уровень знаний, который был необходим для сдачи экзаменов за курс лицея, и решения Галуа нередко были настолько оригинальны и изысканны, что его экзаменаторы не могли по достоинству оценить их. Непонимание со стороны преподавателей усугублялось тем, что многие вычисления Галуа производил в уме и не трудился ясно изложить их на бумаге, что еще больше затрудняло работу преподавателей и вызывало у них раздражение.