В 1990 году Уайлс оказался в самой темной из комнат. На ее обследование у него ушло почти два года. Перепробовав все известные к тому времени методы и подходы, о которых говорилось в опубликованных работах, Уайлс обнаружил, что все они не годятся для решения его проблемы. «Я был убежден, что стою на правильном пути, хотя это отнюдь не означало, что мне непременно удастся достичь поставленной цели. Методы, необходимые для решения интересовавшей меня проблемы, могли оказаться лежащими за пределами современной математики. Могло случиться и так, что методы, необходимые мне для завершения доказательства, будут созданы лет через сто. Одним словом, даже если я был на правильном пути, вполне могло оказаться, что я живу не в том столетии».
Уайлс не пал духом и упорно продолжал работать над проблемой и весь следующий год. Он начал изучать подход, известный под названием «теория Ивасавы». Эта теория представляла собой метод анализа эллиптических кривых, который Уайлс изучал в свои аспирантские годы в Кембридже под руководством Джона Коутса. Хотя теория Ивасавы в своем первоначальном виде была неприменима к интересовавшей Уайлса проблеме, но он надеялся, что ему удастся нужным образом модифицировать ее.
После начального прорыва с помощью групп Галуа Уайлс стал испытывать все большее разочарование. Когда спасительный выход из создавшегося затруднения казался особенно далеким, Уайлс черпал силы из общения с семьей. С тех пор, как он начал работу над доказательством Великой теоремы Ферма в 1986 году, у него родилось двое детей. «Я отдыхал только в кругу моих детей. Маленькие дети просто ничего не знают о Великой теореме Ферма, она им не интересна, они просто хотят услышать от вас сказку и не дадут вам заниматься ничем другим».
Метод Колывагина-Флаха
К лету 1991 года Уайлс проиграл сражение: теорию Ивасавы не удалось приспособить к решению проблемы. Он снова обратился к научным журналам и монографиям, но все же не смог найти альтернативный метод, который позволил бы ему осуществить необходимый прорыв. Последние пять лет Уайлс жил в Принстоне как отшельник, но теперь он решил, что настало время вернуться в круговорот научной жизни и познакомиться с последними математическими слухами. Возможно, кто-нибудь где-нибудь работает над каким-нибудь новым методом, который по тем или иным причинам не был опубликован. Уайлс отправился в Бостон, чтобы принять участие в конференции по эллиптическим кривым, где он надеялся встретить основных действующих лиц современного этапа развития этой теории.
Коллеги со всех концов мира были рады приветствовать Уайлса после столь долгого отсутствия (напомним, что Уайлс по собственной воле воздерживался от участия в непрекращающейся череде конференций, семинаров и симпозиумов). Никто из них не подозревал, что Уайлс работает над доказательством Великой теоремы Ферма, а Уайлс тщательно соблюдал конспирацию и не выдал себя ни единым словом. Участники конференции не подозревали об истинных мотивах его интереса, когда он расспрашивал их о последних новостях относительно эллиптических кривых. Первоначально расспросы не давали ничего существенного, но встреча Уайлса с его бывшим научным руководителем Джоном Коутсом оказалась весьма плодотворной: «В беседе со мной Коутс упомянул о том, что один из его аспирантов по имени Матиус Флах пишет прекрасную статью, в которой анализирует эллиптические кривые. Свою работу Флах основывал на методе, недавно предложенном Колывагиным. Метод Колывагина был словно специально придуман для моей проблемы. Казалось, это было именно то, что мне нужно, хотя по собственному опыту я уже знал, что так называемый метод Колывагина-Флаха придется усовершенствовать. Я полностью отложил в сторону старый подход и стал день и ночь работать над усовершенствованием этого метода».
Профессор Колывагин и Матиус Флах разработали необычайно мощный математический метод, но ни тот, ни другой не поняли, что Уайлс вознамерился использовать их метод при решении самой трудной проблемы в мире.
Уайлс вернулся в Принстон и вскоре снова приступил к доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры. Вскоре ему удалось доказать эффективность придуманного им доказательства по индукции для одной конкретной эллиптической кривой. К сожалению, он пока не мог доказать, что метод Колывагина-Флаха, прекрасно работавший для одной конкретной эллиптической кривой, применим к другой кривой. И тут Уайлс понял, что все эллиптические кривые подразделяются на различные семейства. Если метод Колывагина-Флаха модифицировать так, чтобы он стал эффективным для одной кривой, то он будет применим и ко всем эллиптическим кривым того же семейства. Задача сводилась к тому, чтобы приспособить метод Колывагина-Флаха к каждому из семейств эллиптических кривых. И хотя для некоторых семейств модифицировать метод Колывагина-Флаха оказалось труднее, чем для других, Уайлс был уверен, что постепенно сумеет преодолеть все трудности.
Наконец, после шести лет упорного труда, Уайлс увидел свет в конце туннеля. Неделя за неделей он продвигался вперед, доказывая, что все новые и более обширные семейства эллиптических кривых должны быть модулярными. Казалось, что долгожданная победа была лишь вопросом времени. На заключительной стадии доказательства Уайлс смог по достоинству оценить, что все его доказательство опирается на использование метода, который он открыл для себя всего лишь несколько месяцев назад. Теперь Уайлса начал интересовать вопрос, вполне ли строго он использовал метод Колывагина-Флаха.
«В тот год я очень упорно работал, пытаясь усовершенствовать метод Колывагина-Флаха, но оказалось, что этот метод сопряжен с необычайно тонкой техникой, которой я по-настоящему не владел. Было необходимо проделать колоссальный объем довольно трудных вычислений, для выполнения которых мне нужно было выучить много нового.
В начале января 1993 года я решил, что мне необходимо довериться кому-нибудь, кто разбирается в той геометрической технике, которую я изобрел для расчетов. Эксперта я выбирал очень тщательно: ведь мне предстояло доверить ему свою тайну, и я должен был быть уверен в том, что он не разгласит ее. Я решил рассказать обо всем Нику Катцу».
Профессор Ник Катц также работал на математическом факультете Принстонского университета и знал Уайлса несколько лет. Несмотря на их близкое соседство, Катц никогда не интересовался тем, что происходило буквально в том же коридоре. Он в мельчайших деталях помнит тот момент, когда Уайлс открыл ему свою тайну: «Однажды Эндрю заглянул ко мне на чай и попросил меня зайти к нему в кабинет. Ему хотелось обсудить со мной кое-что. Я не имел представления, о чем пойдет речь, но отправился к нему в кабинет. Когда мы вошли, Эндрю запер дверь на ключ и сообщил мне, что, как ему кажется, он может доказать гипотезу Таниямы-Шимуры… Я был просто вне себя от изумления, настолько фантастически звучало его заявление.
Уайлс пояснил, что в значительной части своего доказательства он использовал разработанное им обобщение метода Колывагина-Флаха. Именно эта часть вызывала у него наибольшие сомнения, и он хотел просмотреть ее вместе с кем-нибудь, чтобы убедиться, что все в ней правильно. По мнению Уайлса, я был тем человеком, который мог бы помочь ему проверить сомнительную часть, но мне показалось, что он попросил меня по другой причине. Уайлс был уверен, что я буду держать язык за зубами и ничего не расскажу другим о его работе». После шести лет, проведенных в добровольной изоляции, Уайлс открыл свою тайну. Теперь Катцу предстояло преодолеть внушительную гору вычислений, выполненных Уайлсом. Все, что сделал Уайлс, было открытием, и Катцу пришлось основательно подумать над тем, как лучше осуществить проверку: «То, что собирался объяснить мне Уайлс, было необычайно велико по объему. Не стоило и пытаться изложить все за одну неформальную беседу в его кабинете. Для работы столь большого объема был необходим цикл еженедельных лекций, в противном случае было бы невозможно разобраться в сути дела. И мы решили устроить такой курс лекций».