Слова его встречены бурным одобрением. Все встают и долго рукоплещут.
— А теперь перейдем к вопросу, затронутому мэтром Лейбницем, — продолжает Ньютон, дождавшись тишины. — Должен снова оговориться. Формула разложения степени бинома носит мое имя не совсем справедливо. Ею пользовались задолго до меня. О моей роли в ее судьбе я как раз собираюсь рассказать. Для начала запишу эту формулу в ее обычном виде.
Он вытирает доску, и на ней появляется следующее выражение:
(a + b)п =ап + С1nап-1b + С2пап-2b2 + C3nan-3b3 + … + bn.
— Здесь, — поясняет он, — коэффициенты в каждом члене, как вам уже известно, есть сочетания из п по нулю, по единице, по два, по три и так далее, то есть
C0n = 1; C1n = n/1; C2n = n(n — 1)/1 · 2; C3n = n(n-1)(n-2)/1 · 2 · 3…
Что же нового внес в эту формулу я? Только то, что предложил обобщить ее, иначе говоря, не ограничивать целым числом для n, а распространить на любые значения показателя степени — дробные, отрицательные… При этом формула сочетаний, выведенная мэтрами Паскалем и Ферма, тоже становится обобщенной. Что же касается самой степени бинома, то она раскладывается в бесконечный ряд. — Тут мэтр Ньютон предупредительно оборачивается к Паскалю. — Вот в каком виде я предлагаю ее записывать:
Например, для п=1/2 получится такой ряд:
Или
(1 + x)1/2 = 1 + x/2 — x2/8 + x3/16 — 5x4/128 +…
Сохраняя любое число слагаемых в правой части, можно вычислить эту сумму с любой степенью точности. Само собой разумеется, что икс в нашей формуле меньше единицы.
Отвесив учтивый поклон, мэтр Ньютон садится, и Пифагор собирается уже объявить следующего оратора… Но тут в телевизоре что-то щелкает, и место Пифагора занимают Знатоки, сообща арестующие разоблаченного преступника.
Мате с досадой хлопает себя по коленке. Опять на самом интересном месте… Черт знает что!
— Вот именно, мсье, — сейчас же откликается Асмодей. — Я, во всяком случае, всегда знаю, что делаю. Кроме того, привычка — вторая натура, как сказал Цицерон. А он тоже знал, что говорил.
Разговор без фокусов
— Интересно, чем вы удивите нас теперь? — допытывается Фило, когда вздремнувшая после обеда компания снова собирается у Мате. — Еще одной телевизионной передачей?
— За кого вы меня принимаете, мсье! Телевизионная передача уже была, а подлинный художник никогда не повторяется.
— У-у-у! Тогда я вам не завидую, — подтрунивает Мате. — Нагородив такую пропасть фокусов, трудненько придумать что-нибудь новое.
— Вы забываете, мсье, что в запасе у меня всегда остается возможность вообще ничего не придумывать, — парирует бес. — И разве это не самый оригинальный способ не повторяться? Сейчас мы с вами сядем за стол и тихо-мирно, без всяких фокусов подытожим то, что узнали о теории вероятностей.
У Фило это сообщение восторга не вызывает. По правде говоря, его куда больше интересует комбинаторика. Он все ещё не раскусил окончательно, с чем ее едят.
— В самом деле? — улыбается Мате. — А между тем с начатками ее вы наверняка знакомились в десятилетке. Вспомните раздел школьной математики «Соединения». Размещения, сочетания, перестановки..
— Так это и есть комбинаторика? — удивляется Фило. — Выходит, я, как мольеровский Журден, всю жизнь говорил прозой, сам того не подозревая!
— Удачнейшее сравнение, мсье. Как и все прочие смертные, вы действительно постоянно решаете комбинаторные задачи, не отдавая себе в том отчета.
— Я?! Это уж вы бросьте! Обещали без фокусов, а…
Но Мате уверяет, что никаких фокусов нет. Просто любая, даже самая несложная задача из тех, что выдвигает перед нами повседневность, заставляет нас учитывать целый ряд обстоятельств, прикидывая, как бы получше их скомбинировать. Не следует, конечно, в данном случае придавать слову «комбинация» дурной смысл. Упаси боже! Он, Мате, вовсе не хочет сказать, что все поголовно человечество похоже на великого комбинатора Остапа Бендера. Но некий комбинаторный навык бесспорно имеется, да и должен быть у всех. Вот, например, вы позвали гостей, и вам предстоит рассадить за квадратным столом двенадцать человек…
— Велика сложность! Посажу по трое с каждой стороны, — сейчас же решает Фило.