C612 = (12·11·10·9·8·7)/(1·2·3·4·5·6) = 77·12
От избытка признательности Фило посылает ему воздушный поцелуй.
— Благодарю, благодарю и в третий раз благодарю! Но дальше я уж сам, хе-хе… Делим число благоприятных комбинаций на число всех возможных: C612 на С814, и искомая вероятность у нас в кармане:
p = C612 / С814 = 77·12 / 77·39 = 12/39 = 4/13 ≈ 0,33
— Как, так мало? — Фило явно разочарован. — Стало быть, в вашей сумке, Асмодей, нет ни одной золотой рыбки?
— Но-но-но, мсье! Не забывайте, с кем имеете дело! Тридцать три процента для черта — вероятность громадная!
Он щелкает пальцами, и на столе появляется наполненный водой аквариум. А спустя секунду в нем уже плавают восемь прехорошеньких рыбок. Две золотые, окруженные ресничками плавников, пламенеют среди них, как ненароком сорвавшиеся с неба и всё еще не остывшие звездочки. Мате рассматривает их с нескрываемым удовольствием. Уж этот Асмодей! Где ему обойтись без фокусов…
— По-моему, он работает не хуже Акопяна, — восторгается Фило. — Как вы думаете, Мате?
Бес дурашливо раскланивается.
— Мсье, вы мне льстите! Однако программа наша еще не окончена. Оркестр, туш! Ваш выход, мсье Мате! Да, да, не смотрите на меня такими удивленными глазами. Надо же мне познакомиться с вашими собственными числовыми изысканиями!
— Полно, — смущается тот. — После Паскаля, Лейбница и Ньютона…
— Не боги горшки обжигают, мсье, — подбадривает черт. — Думаете, я не знаю, что один из ваших арифметических треугольников пригодился для решения некоего дифференциального уравнения, а другой — для расчета авиационного вала?
— Дела давно минувших дней. Знали бы вы, что я придумал месяц назад! Однажды я заинтересовался изосуммарными числами…
— Чем-чем? — переспрашивает Фило.
Оказывается, Мате изобрел это название сам. Приставка «изо» означает «равные». Следственно, изосуммарные числа — такие, у которых сумма цифр одинакова. Вот, например: 6, 15, 24, 33, 105, 204, 600. Сумма цифр у каждого из этих чисел равна 6. И значит, все они изосуммарные.
Для краткости Мате назвал сумму цифр индексом. И вот ему захотелось узнать, сколько имеется изосуммарных чисел с разными индексами, то есть равными единице, двойке, тройке и так далее. Сперва он стал их разыскивать среди однозначных чисел, затем среди двузначных, трехзначных, четырехзначных… А из найденных построил таблицу. Без таблицы, сами понимаете, в таком деле не обойтись.
— Перед вами таблица распределения изосуммарных чисел, — продолжает Мате, раскрывая блокнот. — Здесь буква k — значность чисел. Она у меня помещается в левом столбце. Буква i — индекс чиcла. Индексы я отложил на верхней горизонтали. Как видите, индекс не превышает девяти, в то время как значность может быть любая, до бесконечности.
— А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? — сейчас же прилипает Фило.
— Все в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности.
— Стойте, — перебивает Фило. — Ваша таблица — это же числа треугольника Паскаля!
— Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.
— Значит, — размышляет Фило, — по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.
— Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце. Это — 35. Само собой, число это всегда можно выразить через формулу сочетаний.
— Каким образом?
— Подумайте сами. А я хочу сказать о другом. Если вы помните особенности паскалева треугольника, то легко ответите на такой вопрос: как, НЕ ВЫСЧИТЫВАЯ, сразу, определить по таблице, сколько всего изосуммарных чисел с каким-либо индексом (разумеется, не превышающим девяти) есть среди чисел всех значностей, начиная с однозначных и кончая любой заданной?
С ответом, однако, никто не торопится, и потому Мате делает это сам. Оказывается, вопрос действительно несложный. Вот, например, мы хотим узнать количество изосуммарных чисел с индексом 5, начиная с единицы по семизначные числа. Для этого, казалось бы, следует сложить все числа пятого столбца, начиная с 1 по число 210, которое стоит в седьмой строке. Но обнаруживается, что узнать это число можно и не прибегая к сложению, ибо сумма этих чисел находится в соседнем, шестом столбце, все в той же седьмой строке. Это 462. Вот сколько изосуммарных чисел с индексом 5 есть среди всех чисел от единицы до десяти миллионов.