Любое функциональное отношение, которое мы замечаем, составляет карту, которую мы создали. Поэтому, полезным и даже обязательным будет помнить о том, что это не территория. Её стоит исследовать, проверять и отклонять или модифицировать по необходимости.
Не-аддитивность
Некоторые отношения происходят относительно просто и прямо. Например, представьте, что вы пригласили близкого друга на десерт, а к вашему порогу неожиданно прибыло ещё четыре человека. Накрывая на стол, вы можете добавить одну тарелку и одну кружку для каждого нового человека. Таким образом, мы можем сказать, что для каждого нового человека (независимая переменная) вы добавляете два предмета из сервиза (зависимая переменная). Такое отношение называется аддитивным.
Примером аддитивных отношений может быть функция y=f(2x). Значение y увеличивается аддитивно, на 2 раза, по мере того, как x увеличивается на 1. Таким образом, у нас получается 2, 4, 6, 8, 10, и т. д. Каждое последующее значение y получается за счёт сложения предыдущего значения y с заданным количеством (в этом случае с 2). Такое отношение также называется линейным, потому что его график (кривая) выглядит как прямая линия (рис. 6–2).
Мы можем сравнить это с не-аддитивными отношениями, примером которых может служить функция y=f(2x). Значение y увеличивается не-аддитивно; и так у нас получается 2, 4, 8, 16, 32, и т. д. Каждое последующее значение y получается путём умножения предшествующего значения y на заданное число (в этом случае на 2). Это отношение называется нелинейным, потому что его кривая, нарисованная на графике, имеет изменяющийся, а не прямой наклон (рис. 6–3).
Современная математика, включая обманчиво названную теорию ‘хаоса’,47 помогает нам прояснять, выражать и изображать, и таким образом, лучше понимать не-аддитивные отношения. Она даёт нам язык, подходящий для того, чтобы говорить о том, что мы называем многомерным порядком, сложными причинами и следствиями, отношениями и переменами в процессуальном мире, как мы его теперь понимаем.
Такие сложные факторы участвуют в большинстве наших самых важных отношений. Простой пример: образование семьи. 2 (родителя) + 1 (ребёнок) = гораздо большему, нежели просто 3; развивается совершенно новый комплекс отношений.
Давайте вернёмся к приглашению на десерт. Что происходит, когда ещё четверо человек прибывают? Возможно, вы хотели провести вечер за личными разговорами со своим другом. Возможно, ваши ожидания будет не так просто изменить, как добавить сервиз на стол. Для нас эта ситуация не просто 2+4=6. Что происходит, когда прибавляется каждый новый человек?
Для каждого дополнительного человека количество отношений возрастает не-аддитивно. Вы можете представить как вы и ваш близкий друг начинаете разговаривать; звенит дверной звонок; вы открываете входную дверь и впускаете ещё четырёх людей; все приветствуют друг друга, и вы приветствуете каждого; пока вы достаёте дополнительные кружки и тарелки, вы подстраиваете свои ожидания и обдумываете, как вы все вместе поладите…
Экологи Пол и Энн Эрлих привели следующий пример не-аддитивности:
Ключевое свойство экспоненциального [не-аддитивного] роста состоит в том, что он начинается медленно, а заканчивается быстро. Классическим примером может послужить рдест[6], который каждый день покрывает площадь поверхности водоёма равную своей изначальной площади (т. е. покрытие удваивается), и за тридцать дней вся поверхность водоёма оказывается покрытой. Вопрос: какая часть площади водоёма будет покрыта за двадцать девять дней? Ответ, конечно же, за двадцать девять дней будет покрыта половина площади водоёма. После этого рдест удвоится ещё раз и покроет всю поверхность водоёма на следующий день. Этот пример показывает, что экспоненциальный рост имеет потенциал для больших сюрпризов.48
Похожим образом прирост человеческого населения увеличивается не-аддитивно, и так происходит во многих других ситуациях (например, сложный процент на вашем сберегательном счету в банке). Какие возросшие не-аддитивные следствия происходят от взаимодействия большого числа людей? Какие проблемы возникают? Что происходит со средой? Как может, правительство, образование, и т. д., функционировать лучшим образом с учётом этих сложностей?
6
Рдест – Водяное растение с очень длинным стеблем и небольшими овальными или узкими листьями, погруженное в воду до соцветия или с частично плавающими на поверхности листьями. (