— Конечно, эту Звезду очень приятно видеть, — сказал Илюша.
— Вполне с вами согласен, — отвечал Мнимий, — ибо это мудрый символ чистого и справедливого отношения.
— 410 —
Тут на чертеже, который был против Илюши, исчезли линии круга и выпуклого многоугольника, и осталась одна Звезда. Ее линии начали светиться золотистым светом.
Илюша стоял и любовался. Потом спросил у Мнимия:
— А как быть, если нужно разделить какой-нибудь отрезок в отношении золотого сечения? Можно получить это построением без многоугольников? И как вывести величину 0,618?
— О, это очень просто! — отвечал его собеседник. — Возьмем некоторый отрезок, который вы хотите разделить по золотому сечению. Пусть его длина будет а, и пусть большая часть его будет у. Построим квадрат на этом отрезке. Разделим его основание пополам и из средней точки основания проведем прямую в одну из вершин квадрата. Далее опишем из средней точки основания дугу радиусом, равным этой прямой.
Тогда диаметр получившегося круга разделится на три неравные части: ЕА = у, АВ = a, BF = у. Ясно, что отрезок AD = АВ есть не что иное по отношению к отрезкам ЕА и AF, как их средняя геометрическая, а вы уж ее строили в Схолии Пятнадцатой. При этом отметим: 1) отрезок CF есть сторона правильного выпуклого пятиугольника, вписанного в круг радиуса а; 2) отрезок BF есть сторона правильного десятиугольника; 3) отрезок СЕ есть сторона правильного звездчатого пятиугольника. А что это действительно так, вы можете убедиться, разобрав этот чертеж. Что же касается численной величины отношения золотого сечения, то она находится без труда из таких же соображений. Допустим, что мы хотим разделить величину а в отношении золотого сечения. Тогда одна часть будет у, а другая (а — у). Запишем:
y / a = (а — y) / y
у2 = а (а — у),
у2 = а2 — ау.
— 411 —
Перенесем ау в левую часть и возьмем у за скобку. Получим:
у (y + а) = a2.
Теперь поделим обе части на а2. Получаем:
у/a (1 + y/а) = 1.
А теперь вспомним, что
y/a = x
и подставим:
х (1 + х) = 1; х2 + х — 1 =0.
Открывая скобки, получаем квадратное уравнение. Положительный корень его и даст нам нужную величину. Просто и ясно!
— Хорошо, — сказал мальчик, — но, быть может, кстати, вы мне расскажете, как это получается, что вы можете делать такие преобразования поворота? Я как-то в толк не возьму, как это у вас выходит…
— Можно попробовать, — отвечал спокойно Мнимий. — Представьте себе, что перед вами висит диск, укрепленный в центре… ну хотя бы гвоздиком! И вы хотите его повернуть, скажем, против часовой стрелки на некоторый угол. Разберемте-ка, что для этого мы должны сделать. Наметим на краю диска некоторую точку (любую!). Она определяется некоторым комплексным вектором, не так ли? Но раз наш вектор есть комплексное число, которое после поворота должно измениться, значит, первый вектор заменится новым. Каким же? Ясно, что для этого надо первый вектор умножить на некоторый единичный вектор (мы ведь наш диск только поворачиваем, не более того!), аргумент которого равен углу φ. Давайте теперь множить. Из вектора (x + iy) мы должны получить новый вектор (x' + iy'), то есть умножить:
(х + iy) (cos φ + i sin φ) = x' + iy',