— Вот и корни! — сказал Илюша.
— А теперь мы сотворим и комплексную.
И действительно, тут же, поправей, возникла еще одна плоскость, не очень заметная, матовая. На ней были тоже две взаимно перпендикулярные оса, действительная и мнимая,
— 415 —
только они были совсем тоненькие. В начале координат сияла зеленая точка.
— Подвиньтесь! — вежливо попросил Мнимий.
И тут комплексная плоскость подвинулась налево и стала так аккуратно, что оси на том и на другом чертеже почти слились (они ведь были в одном масштабе!), но все было очень хорошо видно через вторую полупрозрачную плоскость.
— А зеленая точка на нуле, — сообразил мальчик, — означает, что ничего мнимого пока еще нет?
— По-видимому, так… — раздался торжественный шепот прямо из самого экрана: волшебные чертежи, оказывается, отлично умеют говорить!
— Итак, — продолжал Мнимий, — следите за мной хорошенько, и вскоре все станет ясно. Вот перед вами парабола! Она, как вы знаете, прекрасная гречанка, и от роду ей очень много лет. Для того чтобы все было не так хитро, мы будем рассматривать ее в таком виде, что коэффициент при иксе во второй степени будет равен единице.
— То есть, — подхватил Илья, — мы берем выражение
ах2 + bх + с
и делим все члены на а.
Теперь перед Илюшей сиял график квадратного трехчлена, то есть чертеж параболы, обращенной вершиной вниз, ее ось стояла вертикально, и вершина параболы была ниже оси абсцисс (которая, как мы знаем, горизонтальная). Парабола пересекала ось абсцисс дважды. Недалеко засветилось и само уравнение:
х2 — 8х+ 15 = 0.
— А какие у нас корни? — спросил Мнимий.
— Два действительных корня, потому что парабола пересекает ось абсцисс два раза, — отвечал мальчик.
— Справедливо. Теперь я попрошу параболу подняться немножко повыше.
Парабола охотно послушалась, и две оранжевые точки на горизонталях стали сближаться; и вот уже вершина параболы только касалась оси абсцисс в одной точке. Две оранжевые точки сошлись в одну.
— А теперь? — спросил Мнимий.
Рядом уже светилось и уравнение:
х2 — 8х + 16 = 0.
— А теперь, — отвечал Илья, — два одинаковых действительных корня, оба равны (+4).
— 416 —
— Так. Согласен. Попрошу еще вверх немного.
Послушная парабола согласилась и на это. И теперь вся она поднялась выше оси абсцисс, не касаясь ее. Вершина параболы по-прежнему висела над делением оси абсцисс, равным четырем. Однако как только вершина параболы вздумала оторваться от горизонтали, немедленно оси на полупрозрачной комплексной плоскости стали еще ярче, а зеленая точка в начале координат вспыхнула посветлее. Едва лишь горизонталь и вершина параболы расстались друг с другом, эта точка немедленно раздвоилась. И теперь уже две зеленые точки медленно поползли: одна вверх по мнимой оси, а другая по той же оси вниз. Затем обе эти точки остановились против деления три, только одна стояла против (+3), а другая против (—3).
— Ну-с, — произнес Мнимий, — я вас слушаю.
— Тут, — сказал Илюша, — оба корня комплексные. И они, конечно, сопряженные. Один будет равен (4 + 3i), а другой (4 — 3i). Если теперь открыть скобки в выражении
[x — (4 + 3i)] [х — (4 — 3i) ] = 0,
то получится вот что:
х2 — 8х + 25 = 0.
Этому уравнению соответствует парабола вот такая, как сейчас на нашем чертеже. А почему это так, сообразить нетрудно.
Ведь если написать:
[x — (a + bi)] [х — (a — bi) ] = 0,
то открой скобки и получишь:
х2 — 2ах+ (а2 + b2) = 0.
Вот и все! Проверить — одна минута.
— Точно! — подтвердил Мнимий. — А больше вы ничего не замечаете?
И вот только тут наш герой усмотрел, что парабола отразилась ниже действительной оси и висит там вершиной вверх.
Так что теперь уже перед ним были как бы две параболы… А из самого начала координат (там, где пересекались обе оси) ползет яркий лиловый пунктир со стрелочкой на конце. Он добрался до точки с координатами (4, 3), и стрелочка его остановилась, как только коснулась этой точки. Илюша обернулся к Мнимию, но, к своему удивлению, обнаружил, что его