— 432 —
или, сделав приведение:
у3 + (—a2/3 + b) у + (2a3/27 — ab/3 + с) = 0.
Теперь для сокращения письма положим:
(—a2/3 + b) = p; (2a3/27 — ab/3 + с) ] = q
и запишем окончательно результат в таком виде:
y3 + py + q = 0.
(Если q = 0, то все просто: y1 = 0, у2,3 = ±√—p)
При q ≠ 0 результат, как ты видишь, разумеется, несколько менее утешителен, чем в случае квадратного уравнения, ибо у нас не два, а три члена. Но как-никак определенное упрощение достигнуто. Как же теперь быть далее? Ясно, что нужно придумать способ, который дал бы возможность обратить выражение ру в нуль, после чего мы и получим двучленное уравнение, то есть то же самое, что было получено для квадратного. И вот как раз на этом месте болонцам пришла в голову счастливая мысль сделать еще одну подстановку: положить, что у в последнем уравнении можно представить в виде суммы:
у = u + v.
И опять-таки эти величины ими пока что совершенно произвольные. Мы только одно можем сказать, что сумма их есть корень нашего уравнения, который не равен нулю.
— А почему он не равен нулю?
— Сейчас рассмотрим! Попробуем подставить. Получаем:
(u + v)3 + р (u + v) + q = 0.
Смотрите-ка! Теперь видно, что сумма (u + v) не может быть равна нулю, потому что тогда и число q будет равно нулю, а число q, свободный член уравнения, не равно нулю. Теперь откроем скобки и кое-что сгруппируем:
(u3 + v3) + (u + v) (3uv + p) + q = 0.
Такая форма уравнения уже подает нам некоторые надежды! Может быть, нам удастся уничтожить второй член? Положить,
— 433 —
что u + v = 0, мы, как сказано, не можем, но зато спокойно можем допустить, что
3uv + р = 0;
uv = —p/3
но в таком случае наше уравнение превращается в такое:
u3 + v3 = — q.
Следовательно, мы получили два уравнения. Одно из них дает произведение новых чисел u и v, а другое их сумму. Правда, они в разных степенях, но никто не помешает возвести это произведение тоже в куб. Далее это создаст нам некоторые затруднения, но мы как-нибудь их одолеем. И вот перед нами два уравнения:
u3v3 = — p3/27; u3 + v3 = — q.
А теперь скажите, юноша, как бы вы дальше поступили с этими уравнениями? Отвечайте, куда они просятся?
— В квадратное уравнение! — вдруг выпалил почти в отчаянии Илюша. — Сумма и произведение даны, значит, это квадратное уравнение… по теореме Виеты.
— Очень хорошо! — отозвался Мнимий. — Так вот: теперь должно быть ясно, что болонцы действительно напали на очень счастливую мысль. Разумеется, им не удалось свести кубическое уравнение к линейному (то есть первой степени), как сводили квадратное, но ведь этого и ожидать было бы странно, ибо куб все-таки постарше квадрата и, конечно, поупрямей его! Но вы должны еще иметь в виду, что открытие этого решения кубического уравнения в Италии шестнадцатого века было поистине важным историческим событием! Оно означало, что новая Европа вышла на новый рубеж, она уже освоила наследие древних ученых и теперь сама делает недоступные для древности открытия. Общественные условия настолько изменились, что возникла возможность для новой науки. Разумеется, ученый работает прежде всего в интересах науки. Но он может работать для ее развития только тогда, когда общество, в котором он живет, поддерживает его, другими словами, когда люди верят в необходимость его трудов. Мы уже говорили с вами, как бились древние греки с двоекубием, то есть задачей удвоить куб. И как мы увидим далее, задача трисекции угла тоже сводится к кубическому уравнению. Но так или иначе болонцы все-таки степень кубического уравнения на единицу понизили, а это облегчило задачу — квадратные уравнения мы решать умеем!