Илюша нарисовал чертеж и углубился в его рассмотрение.
Двойной лабиринт Радикса.
— Да, — сказал Илюша, — действительно, в центр не по-
— 56 —
паду. Тогда, мне кажется, можно поступить так. При обходе лабиринта по правилу правой руки я убеждаюсь, что в центр не могу попасть, и замечаю, что какой бы рукой я ни пользовался, всегда на противоположной от меня стене, то есть на той, которой я не касаюсь рукой, мне встречается дверь, и я в нее не попадаю. Если в лабиринте есть такая дверь, то я поставлю против нее крестик на моей стене, сменю руку и пойду кругом островка. Когда я попаду в эту дверь, то дойду до центра, выйду из него и, снова дойдя до моего крестика, сменю руку во второй раз. Мне кажется, что это получается лабиринт в лабиринте, и, по-моему, такой лабиринт надо называть двойным. Так можно и тройной построить!
— Можно, — спокойно ответствовал Радикс. — Во-первых, эта система внутренних петель и островков может быть довольно сложной, а во-вторых, именно на такого рода усложнениях и основана путаница лабиринта. Ну, что у тебя еще есть? Выкладывай. А к лабиринту мы вернемся еще.
— Еще про этого противного Доктора Узлов. Почему он так называется?
— Начнем с его рожицы, — отвечал Радикс. — Ее линии, как ты заметил, легко можно обойти, пройдя при этом один раз по каждой линии. Такая фигура называется уникурсальной. Вот почему его так зовут.
Правда, это слово — «уникурсальный» — иногда применяется и в другом смысле, но уж этого мы касаться не будем. Уникурсальную фигуру можно начертить, не отнимая пера от бумаги, как говорится — одним росчерком. Конечно, так начертить можно не всякую фигуру. Попробуй, например, начертить фигуру, нарисованную налево.
Попробуй начертить одним росчерком!
У тебя ничего не получится, как бы ты ни старался. Эта фигура не уникурсальная.
— В чем же тут дело? — спросил
— 57 —
Илюша. — Как узнать, какая фигура уникурсальная, а какая нет?
Четный узел
— Назовем каждый перекресток нашей фигуры узлом. Если от него отходит четное число путей, то это будет четный узел, а если нечетное — нечетный. Если узел четный, то ты можешь прийти к нему и уйти от него по новому пути. Сколько бы ни было четных узлов, они тебе не помешают.
Нечетный узел.
В каждый из них ты можешь пройти. Другое дело — нечетный узел. Например, из него три пути…
— Ясно, — подхватил Илюша. — Раз приду и раз уйду — значит, две дороги я уже использовал. А опять приду по третьей — и конец, потому что нехоженых дорог больше нет.
— Совершенно верно, — отвечал терпеливый Радикс. — Ну, а что будет, если ты встретишь два нечетных узла?
— Допустим, что они будут тройные.
— Два нечетных узла?.. — повторил Илюша. — Я сейчас нарисую.
Илюша нарисовал два чертежа.
Один изображал два ромба, соединенных прямой, а другой ромб с одной диагональю (рисунок на стр. 59).
— Ну вот, — сказал он, — две фигуры с двумя нечетными, тройными узлами. Попробую начать с первой. Итак, я выхожу из нечетного узла, то есть из точки А, потом возвращаюсь к нему через В, С и D и выхожу из него опять. Значит, я все его пути уже прошел. Иду по последнему пути, то есть через АЕ во второй узел (в точку Е). Прихожу во второй, выхожу из него по второму пути и через F, G и H возвращаюсь в Е обратно по третьему пути. Значит, выходит так: если у меня два нечетных узла, то я могу из одного прийти в другой, но во втором застряну, и дальше мне уже некуда будет идти…
— Так, — сказал Радикс. — Из этого, я думаю, тебе ясно, что больше двух нечетных узлов в уникурсальной фигуре быть не может, а четных может быть сколько хочешь. Ты можешь нарисовать фигуру с двумя нечетными узлами, а между ними наставить сколько угодно четных. И это будет уникурсальная фигура. Если есть только одни четные узлы, то ты, обойдя
— 58 —
фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.
— Как это? — спросил Илюша.
— Ты водишь пальцем по дорожкам и мостам, вот и покажи, по каким линиям ты при этом двигаешься. Поэтому давай изобразим условно оба берега и оба острова точками, а мосты — линиями, соединяющими эти точки.