— Понимаю! — воскликнул Илюша. — А эти новые, более простые задачи я опять сведу к таким же, но еще более простым… И так можно каждый раз уменьшать число путей, а ведь нам дано только некоторое определенное число путей…
— Будем говорить — конечное число путей.
— Хорошо. А так как нам дано конечное число путей, то в конце концов все они будут исчерпаны. А следовательно, я доказал, что всякую связную фигуру, у которой нечетных узлов или нет совсем, или их только два, можно обойти непрерывным движением, проходя по каждому пути только один раз, то есть, другими словами, что всякая такая фигура действительно уникурсальна. И при этом я нашел и общее правило такого обхода.
— Попробуй теперь изложить это правило коротко и ясно, то есть сформулировать его.
— Мы начинаем наше путешествие в одном из нечетных узлов, а если их нет, то в каком угодно. Потом наметим какой-
— 61 —
нибудь маршрут, который вернет нас в начальный узел или в случае двух нечетных узлов приведет во второй нечетный узел. Затем идем в обход, погашая в каждом узле тем же способом все те черные закоулки, которые не вошли в наш маршрут. Вот и всё.
— Хорошо, — отвечал Радикс. — А как ты полагаешь, надо ли заранее намечать маршрут или можно обойтись и без этого?
— Мне кажется, — начал Илюша, — что нельзя только упускать из виду того, что путь следует выбрать так, чтобы не нарушить связность фигуры. То есть я могу, например, при первой встрече с черным закоулком не обращать на него внимания, но надо обязательно обойти его из того узла, в котором я должен с ним расстаться. На чертеже (стр. 60) вот что получается: я могу пройти мимо черного закоулка — ромба CFGD, когда я дойду до узла С, но нельзя этого делать, когда я буду в узле D. Ну, разумеется, я говорю о том случае, когда мы двигаемся по направлению от В к Е.
— Так, — благосклонно отвечал Радикс, — все это верно. И, в общем, ты рассуждал довольно мило. Ну, а теперь уж тебе не так трудно будет доказать и еще один пункт, а именно: что всякое путешествие по уникурсальной фигуре, при котором ты, проходя через пути, не нарушаешь связности, приведет тебя к цели. Постарайся теперь это сформулировать?
— По-моему, это уже совсем просто. Мы идем вперед, не нарушая связности. Число путей у нас все время в силу этого уменьшается. Ясно, что в конце концов мы обойдем все пути.
— Точно, правильно, прекрасно! — задумчиво пробормотал Радикс. — А теперь вот что: дана фигура с несколькими нечетными узлами, и если их больше чем два, то она не уникурсальна.
Возникает вопрос: сколько надо сделать в таком случае обходов? Вот тебе фигура с четырьмя нечетными узлами.
Фигура с четырьмя нечетными узлами.
Рассмотри, сколько надо сделать обходов. Ты увидишь, что обходов надо столько, сколько пар нечетных узлов имеется в фигуре. Это вполне естественно. Вот тебе еще задачка. Возьмем твой первый чертеж — два ромба, соединенных прямой (эту соединительную прямую в фигуре мы называем мостом). Теперь разорвем наш мост посредине. Подумай над таким вопросом: давай заполним разрыв моста какой-нибудь фигурой, то есть вставим в уникурсальную фигуру с двумя нечетными узлами еще одну связную фигуру, и разберемся, какую фигуру и как можно вставить. Только с четными узлами или с двумя
— 62 —
Мост цел.
Мост разорван
нечетными (стр. 65)? Это особенная геометрия. Она называется геометрия положения или топология. Вот тебе, кстати, прекрасная фигурка. Попробуй нарисовать ее одним росчерком. Ее придумал когда-то геометр Листинг.
Фигура Листинга.
— Так, значит, — сказал Илюша, — на свете есть не одна геометрия? Не только та, которую мы учим в школе?
— Далеко не одна.
— А почему этот ваш командор еще и Кандидат Тупиковых Наук? Что это за науки?
— Ну, в лабиринте ты видел немало тупиков. Это они самые.
— А почему он Магистр Деревьев?
— Если из твоего первого чертежа с двумя ромбами я уберу мост, система путей потеряет связность, будет опять два отдельных ромба — и все. Линию, которая соединяет два узла, мы называем путем, а если путь имеет то свойство, что при удалении его система теряет связность и распадается, то мы такой путь и называем мостом. Может существовать система, состоящая только из тупиков и мостов.