Например:
2519 = 432 + 252 + 62 + 32.
Но доказать надо не только для квадратов, а для всех степеней. И только уже в начале двадцатого века было дано решение этой труднейшей задачи с помощью самых тонких средств математического анализа. Вот еще пример. В середине восемнадцатого века академик X. Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что всякое целое число больше трех может быть разложено на сумму не более чем трех простых
— 91 —
чисел. Задача эта оказалась до такой степени трудной, что еще в начале нашего века на международном математическом конгрессе один из видных ученых заявил, что она «превосходит силы современной математики». Оказалось, впрочем, что это не так. Основные результаты в решении этой задачи были достигнуты советским математиком Л. Г. Шнирельманом, который доказал, что, составляя суммы достаточно большого (но заранее ограниченного) числа слагаемых, каждое из которых есть простое число, можно получить все натуральные числа. Уже это было достижением, которое вызвало удивление математиков всего мира. Но, конечно, еще труднее было доказать, что для разложения четных чисел достаточно двух, а для разложения нечетных чисел — трех слагаемых, каждое из которых есть простое число. Это последнее утверждение удалось доказать замечательному советскому математику И. М. Виноградову, которому и принадлежит, таким образом, помимо ряда блестящих работ в других областях теории чисел, решение этой никому не покорявшейся проблемы Гольдбаха (для нечетных чисел; для четных метод Виноградова дает четыре слагаемых). Решение Виноградова быстро облетело весь мир и увенчало советскую математику заслуженной славой… Однако должен добавить ко всему сказанному вот еще что. Допустим, что завтра найдется гениальный математик и докажет теорему Ферма{6}. Конечно, это не будет переворотом всей математики. И возможно, что разговоров будет больше, чем дела. Все это так. Однако нельзя сомневаться в том, что методы, которыми действует математика, благодаря этому обогатятся, и даже очень. Ну вот, теперь, мой милый гость, мне кажется, что я, насколько мог, удовлетворил вашу любознательность.
— Я даже не могу выразить, до чего я вам благодарен! Мне кажется, я никогда еще не слыхал ничего такого интересного. Я всегда очень любил математику, а теперь… теперь мне кажется, что это самая интересная вещь на свете!
— Что ж, молодой человек, — ответил ему Мнимий Радиксович, приветливо улыбаясь, — я, конечно, в этом деле не судья, но возможно, что вы не так далеки от истины.
После этого Илюша и Радикс сердечно распрощались с гостеприимным хозяином и не спеша, стали спускаться с Лежандровой горки. Радикс пояснил Илюше, что горка эта называется так, но имени математика Лежандра, который высказал о теореме Ферма некоторое очень тонкое замечание.
— Как все это интересно! Что за прелесть, эти комплексные человечки! — воскликнул Илюша.
— Не забудь, однако, — заметил Радикс, — что все это довольно трудно. Мир этих человечков отличается рядом свое-
— 92 —
образных и неожиданных особенностей, которые не так-то просто изучить. А без такого изучения ты от них не многого добьешься!