Илюша и Радикс продолжали свой путь в самом приятном расположении духа. Однако через несколько времени Илюша задумчиво промолвил:
— Эх! Я забыл спросить у этого человечка еще одну штуку.
— Что именно? — вопросил Радикс.
— 97 —
— Я никак не пойму: какое отношение эти комплексные человечки могут иметь к такой задаче, в которой есть только вещественные, да еще притом целые числа?
Тут Илюше показалось, что на него кто-то смотрит сзади.
Он обернулся и к своему неописуемому удовольствию увидел, что невдалеке позади, под синей стеной, в креслице сидит Мнимий Радиксович собственной персоной.
— Могу, — сказал любезный человечек, — вам рассказать о некоторых наших хитроумных проделках. Это вам кое-что пояснит. Вы, конечно, помните, что разность двух квадратов распадается на два множителя — на сумму и разность первых степеней.
— Ну еще бы, — отвечал Илюша.
— А мы, — продолжал словоохотливый человечек, — умеем делать то, чего вещественные числа делать не умеют: мы можем разложить на множители сумму квадратов. Это очень просто. Смотрите.
И на стене около кресла сейчас же появилось следующее:
x2 + у2 = (х + iy) (x — iy).
— Буква i, как всегда, обозначает √-1. Перемножьте, и вы убедитесь, что это равенство справедливо. Кстати сказать, формулы для пифагоровых троек я мог бы получить тоже не без помощи этого выражения, а именно вот как. Если нам нужно, чтобы
х2 + у2 = z2,
то положим, что оба множителя, то есть (x + iy), а также (х- iy), суть квадраты каких-то чисел, разумеется тоже комплексных, так что, например:
x + iy=(p + iq) 2 = p2 — q2 + 2pqi.
Теперь я сравниваю левую часть с правой и заключаю, что
х = p2 — q2; y = 2pq,
откуда уже сразу следует, что
z = р2 + q2.
Это, правда, не совсем строго, хотя бы потому, что из a · b = z2 не следует, что а и b непременно квадраты, но формулы получаются как раз те, какие нам нужны. Обратите, кстати, вни-
— 98 —
мание еще на то, что одно равенство комплексных чисел заменяет собой два равенства обычных чисел. Это тоже ведь преимущество немалое! Теперь позвольте вам указать еще и на то, что если мы возьмем не разность квадратов, а разность кубов (а ведь куб-то как раз и является первой из тех степеней, о которых идет речь в Большой теореме Ферма!), то вещественные числа умеют разлагать эту разность только на два множителя, то есть на разность первой степени и неполный квадрат суммы. Не так ли?
Илюша утвердительно кивнул. И тотчас на стене появилось:
(х3 — 1) = (x — 1) (х2 + х + 1).
— Ну, а мы можем разложить вам эту разность не на два, а на три множителя, и получится вот что…
— Вы легко можете убедиться в справедливости этого равенства, либо просто перемножив эти три скобки, либо решив квадратное уравнение, которое представляет собой ваш неполный квадрат суммы.