х2 + х + 1 = 0.
— Ну вот, — продолжал Мнимий, — отсюда вы легко можете видеть, что мы вполне можем иметь прямое отношение к задачам, в которых есть только вещественные числа. С этим несложным, но очень полезным разложением мы еще встретимся в дальнейшем, когда займемся вопросами довольно хитрыми (но при этом замечательно интересными) через каких-нибудь двенадцать Схолий. Причем мы способны делать то, о чем вещественные числа и понятия не имеют. А так как наша арифметика очень похожа на арифметику вещественных чисел, то вы можете прийти к нам, а потом вернуться к вещественным числам, и никаких недоразумений у вас не получится. А мы будем вам с удовольствием помогать теми своими способностями, которых у вещественных чисел нет. Мало того, мы еще вам что-нибудь подарим на память, чего вы даже у нас не просили. Вот, например, разложим разность кубов на три множителя, а если вы внимательно присмотритесь к этому разложению, то увидите, что наше решение имеет непосредственное отношение к геометрической задаче о том, как вписать в окружность равносторонний треугольник. И это потому, что мы друзья с синусами и косинусами, а коэффициенты, ко-
— 99 —
торые мы вам вывели, равны: один — синусу тридцати градусов, а другой — косинусу тридцати градусов.
Илюша не мог сразу сообразить, при чем тут равносторонний треугольник, но, вспомнив, что синус 30° действительно равен одному из приведенных Мнимием Радиксовичем коэффициентов (то есть половине), не решился спрашивать и дал себе слово, что на досуге возьмет геометрию и сам все разберет.
— Теперь, — сказал Илюша, — я, кажется, начинаю понимать, как вы помогаете. Это замечательно!
— Милый юноша, — отвечал ему Мнимий Радиксович, — все, что вы здесь увидите, все вам будет помогать. Только надо научиться пользоваться нашей помощью. Это кажется трудным, но ведь вы когда-то и читать не умели, однако научились! Так и здесь то же самое. А если вы меня спросите теперь, почему мы с такой охотой беремся помогать вам в чужой задаче, то я вам отвечу, что, во-первых, всякому охота показать, на что он способен, ну, а потом, знаете, это все-таки довольно забавно — натянуть нос этим неповоротливым вещественным числам, чтобы они не важничали, потому что они народ ужасно спесивый, но совершенно не могут быть такими юркими, догадливыми и любезными, как мы! Однако, не всякий сразу с нами освоится. Вот, например, число шесть — поговорите о нем с вещественными числами, и они вам скажут, что это просто «дважды три». Справедливо, разумеется! Но с нашей точки зрения его можно еще немного иначе написать:
2 · 3 = 6 = (1 + √-5)(1 + √-5).
Попробуйте проверьте! Надо, видите ли, еще иметь в виду, что вопросы делимости могут касаться даже и алгебраических выражений, а ведь это очень важно, ибо алгебра-то и учит нас решать вопросы в общем виде. Вот задачка: дано выражение
m3 + 6m2 + 11m + 6.
Спрашивается, делится оно на три или нет? Что вы на это скажете?
— Не знаю, — ответил смутившийся Илюша, — может быть, попробовать разложить на множители?
— 100 —
И мальчик получил:
(m + 2) (m + 3) (m + 4).
— А теперь заменим (m + 2) на n. И тогда?
Илюша написал, а затем ответил нерешительно:
— Три натуральных числа подряд. Произведение! Коли так… то должно делиться на три! Вот странная задачка! Сразу не разберешься. А ведь мне нужно еще узнать про Дразнилку, — обратился Илюша к Радиксу, ибо Мнимий уже исчез. — Ты расскажешь?
— Отчего же! — ответил Радикс, беря со стола три картоночки, каждая величиной с почтовую карточку, и протягивая их Илюше. — Мы с тобой сначала рассмотрим самый простенький случай — тройного Дразнилку, который у тебя назывался «икс». Помнишь?
— Помню! — сказал Илюша, разглядывая карточки. На каждой стояла цифра: 1, 2 и 3.
— Так вот, — продолжал Радикс, — положи их на стол в обычном порядке. Запиши мелом на стене эту первую комбинацию, исходный порядок, то есть 1-2-3. А теперь перекладывай их так: ту, которая стоит спереди, клади в самый конец и повторяй дальше тем же порядком. Это круговая, или циклическая, перестановка.
Илюша переложил несколько раз, потом сказал:
— Больше не выходит. Опять то же самое получается.
— А теперь разложи их в обратном порядке: 3-2-1 и перекладывай опять так же.
— И тут то же, — ответил Илюша. — Опять я пришел к тому же, с чего начал, то есть к 3-2-1.