— Конечно, помню.
Октаэдр.
Куб.
Икосаэдр.
— 121 —
Додекаэдр.
— Так вот. Для изображения двух слоев ядер ставим рядом три тетраэдра, чтобы их соприкасающиеся точки слились.
Немедленно перед Радиксом стали на полу три тетраэдра, и указанные точки слились.
— Так, — сказал Илюша, — теперь я как будто понимаю. Точки в углах тетраэдров — это ядра. В нижнем ряду шесть ядер, в верхнем — три. Все правильно. Основание каждого тетраэдра — это те треугольнички, которые мы называли «черными». А треугольник, который лежит в глубине впадины между тремя тетраэдрами, назывался у нас «белым». Его мы пропускаем. То есть здесь среди шаров и будет та лунка, которую мы не заполняем. А если я сверху, на вершины этих трех тетраэдров, поставлю еще один так, чтобы три точки его основания слились с тремя вершинами нижних трех тетраэдров, то ясно, что на трех шарах будет лежать один. Я получу тогда один большой тетраэдр. Теперь я понял.
— Но это еще не все, — добавил Радикс. — Дело в том, что наиплотнейшее расположение шаров в пространстве, даже в три только слоя, зависит от того, в какие лунки ты кладешь ядра и какие ты пропускаешь. Чтобы это стало совершенно ясным, составим тетраэдры в два слоя так, чтобы соприкасающиеся углы их совпали, и допустим, что эти два слоя тянутся безгранично далеко. У каждого из тетраэдров есть вершина, которая изображает в нашей схеме шар второго слоя. Теперь я хочу добавить еще третий слой, но добавить его не сверху, а снизу. И при этом я могу действовать двумя способами. Либо я к каждому основанию моего тетраэдра приклею основание еще одного (чтобы они совпали и слились воедино), и тогда вершина второго тетраэдра будет стоять симметрично относительно вершины первого. Это первый способ наиплотнейшего расположения шаров в
Наиболее плотное расположение кругов на плоскости.
— 122 —
Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники — основания трех нижних тетраэдров; кружки — вершины этих тетраэдров (А, В, С); звездочка — положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC.
пространстве. Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется между двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по…
— Второму способу! — закончил Илюша. — Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: «со всех четырех сторон», а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху — одно, в следующем слое — столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем — столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше — десять. Как же считать?
Четыре тетраэдра (вид сбоку).
— Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.
— В первом и втором слоях вместе: один да три — четыре.
— Квадрат двух, — подсказал Радикс. — А во втором и третьем?