— 438 —
множителей. Но из нашего решения ясно, что один из множителей будет равен
(x — 4);
значит, если я перенесу все члены нашего уравнения влево и разделю затем эту левую часть на этот одночлен, получится квадратное уравнение, а из него можно раздобыть остальные два корня:
(x3 — 15x — 4) / (x — 4) = x3 + 4x + 1
Илюша еще немного покопался с вычислениями и написал:
x1 = 4,000; x2 = —2 + √3; x3 = —2 — √3
или приближенно:
х2 = —0,268; х3 = —3,732.
— По теореме Виеты выходит. И сумма корней равна нулю! Попробую проверить значения корней. Для этого я буду придавать иксу целочисленные значения от минус шести до плюс шести и посмотрю, где кривая пересечет ось абсцисс.
Илюша так и сделал. Получилась табличка, а за ней и кривая, которую можно разглядеть на чертеже[38].
| x | x3 | - 15x | Свободый член | Сумма |
| - 6 | - 216 | + 90 | - 4 | - 130 |
| - 5 | - 125 | + 75 | - 4 | - 54 |
| - 4 | - 64 | + 60 | - 4 | - 8 |
| - 3 | - 27 | + 45 | - 4 | + 14 |
| - 2 | - 8 | + 30 | - 4 | + 18 |
| - 1 | - 1 | + 15 | - 4 | + 10 |
| 0 | 0 | 0 | - 4 | - 4 |
| + 1 | + 1 | - 15 | - 4 | - 18 |
| + 2 | + 8 | - 30 | -4 | - 26 |
| + 3 | + 27 | - 45 | - 4 | - 22 |
| + 4 | + 64 | - 60 | - 4 | 0 |
| + 5 | + 125 | - 75 | - 4 | + 46 |
| + 6 | + 216 | - 90 | - 4 | +122 |
— 439 —
— Ишь как хорошо вес выходит! — воскликнул Илюша, закончив табличку. — На четверке нуль…
— Сделаешь верно, и получается хорошо, — заметил Радикс.
— А те два других корня по чертежу тоже очень хорошо подходят. В порядке! И действительно, кривая три раза пересекает ось абсцисс.
— Как ей и положено, — закрепил Радикс. — Рафаэль Бомбелли был человек способный, ученый и даже удачливый: говорят, именно ему удалось разыскать на полках громадной Ватиканской библиотеки рукопись творений грека Диофанта Александрийского, с которых и началась теория чисел, высшая арифметика. Возможно, что Диофант в решении с Кардановой формулой навел Рафаэля Бомбелли на кое-какие полезные мысли.
Тут Радикс продекламировал такой стишок:
— Там, где быть им надлежит, там как раз и пробежит! — поддакнул Мнимий.
Радикс проговорил скороговоркой еще стишок:
И все весело рассмеялись. А Мнимий добавил:
— Надо вам знать еще, что неожиданные и своеобразные разоблачения Бомбелли в те времена скорее привели в недоумение ученых, чем направили их к новым исследованиям. И когда через некоторое время Виета обнаружил, что «неприводимый» случай Кардана можно разрешить тригонометрическим путем (как решение задачи о трисекции угла), то это, наверно, показалось облегчением (впрочем арабские математики нашли это решение примерно еще за целый век до Виеты). Однако трудно сказать, имело ли это какое-нибудь значение, ибо замечательная работа Бомбелли в свое время не была напечатана, хотя была известна и ее изучали крупные ученые. Любопытно, что в те времена были уверены, что
— 440 —
Виета открыл что-то совершенно новое, хотя на самом деле в решении Виеты новыми были только подстановки.
— Но я не знаю, как у Виеты получилось с трисекцией угла и с тригонометрическим решением.
— Неужто? — удивился Радикс. — Так сейчас узнаешь! Виета напал на счастливую мысль привлечь к вопросу о решении кубического уравнения тригонометрические функции. Мы как будто в прошлой схолии рассматривали, что получается, если возвести комплексное число в квадрат. Из этого примера ясно, кстати, что одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам действительных, ибо действительную и мнимую часть правой части равенства можно рассматривать по отдельности. Согласен?
Илюша задумался.
— Кажется… да!
— Если так, то мы начнем с формулы для косинуса двойного угла. Так или нет? Помнишь?
— Так, как будто. И она будет:
cos 2α = cos2 α — sin2 α.
— Хорошо. Не спорю. А теперь перемножение комплексных чисел (единичных комплексных векторов) из предыдущей схолии повторим еще раз с тем отличием, что наши комплексные множители будут иметь разные аргументы, то есть разные углы. Что мы получим?
Илюша тотчас выполнил это умножение и получил.
cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β.
— Ну, а теперь у нас есть все для того, чтобы на основании этих двух формул написать еще формулу для косинуса троекратного угла, то есть для cos (2α + α), или в результате cos Зα.
На этот раз Илюша не очень долго возился, но все-таки помучился. Радикс напомнил ему, что ведь «без труда и рыбку не вытащишь из пруда», а не то что косинус троекратный!
И наконец получилась вот какая формула:
cos Зα = 4 cos3 α — 3 cos α.
— Вот теперь все, что надо, у нас есть, и мы можем спокойно продолжать наши рассуждения. Попрошу вас только еще заменить cos a на х и написать в обычном для уравнения виде так, чтобы правая часть равнялась нулю, тогда как cos За будет у нас называться а.
— 441 —
Это задание было совсем уж простое, и Илюша написал.
4x3 — 3x — a = 0