⅓(x1 + αx2 + α2x3)
— Совсем я запутался! — с огорчением пробормотал Илья. — Чем эта формула поможет? Откуда взять корни, когда я еще не решил уравнения? Значит, надо сперва воспользоваться формулой Кардана. Какой смысл в этой формуле?..
— Видите ли, — вмешался Мнимий, — вы правы в том отношении, что в деле разыскания корней эта формула помочь не может. Но чтобы представить себе, как связаны корни кубического уравнения с его коэффициентами, она в высшей степени полезна.
— Опять не понимаю! — снова огорчился мальчик. — Ведь мы же знаем, какие для Кардановой формулы делали два раза подстановки! Разве из этого нельзя вывести, какие получаются соотношения между корнями и коэффициентами?
— Того, что мы знаем о наших подстановках, еще мало. Потому что те подстановки, которые годятся для кубического уравнения, не подходят для уравнения четвертой степени, а следовательно, это способ не общий. Кроме того, пока самый способ решения нельзя проверить — или, как говорится, проанализировать, — невозможно подойти и к рассмотрению всего вопроса в целом об алгебраических уравнениях. Ведь мало еще догадаться, каково решение, надо дознаться, почему оно такое, а не иное.
— Возьмем квадратное уравнение, — предложил Радикс, —
— 449 —
хорошо тебе известное. Что ты скажешь, если я предложу тебе для него такую формулу? Ты с ней согласишься?
x = 1/2[(x1 + x2) ± (x1 — x2)]
— Д-да… — сказал Илюша неуверенно. — То есть если припомнить общую формулу квадратного уравнения
(x1 + x2)(x1 — x2) = 0,
потом открыть в ней скобки
x2 — (x1 + x2)x + x1x2 = 0,
а затем применить к такому выражению всем известную формулу, для решения квадратного уравнения, то как раз и придешь к твоей формуле. И действительно, она показывает, как формула решения связана с корнями. Но ведь в квадратном уравнении все так просто!
— Боюсь, — вымолвил Мнимий, — что вас пугают эти самые альфы в формуле Лагранжа. Не так ли? А ведь мы о них недавно говорили… Вспомните-ка!
— Говорили…
— А что именно?
— Что с их помощью получаются все значения корней из комплексного числа…
— Разве? — сказал удивленный Радикс. — Как же это возможно? Мыслимое ли это дело?
Илюша посмотрел на своего друга укоризненно.
Что-то очень маленькое и беленькое вдруг упало у ног Илюши, а потом пошел целый снег из этих маленьких беленьких… Одна штучка упала Илюше прямо на руку, и он увидал, что на ладошке у него лежит крохотная беленькая альфа. А кругом так и сыплются все новые и новые маленькие беленькие альфы…
А Мнимий посмотрел на эту альфообразную метель и признался:
— А ведь в самой своей сущности я тоже альфа!
Илюша взглянул на него и сказал:
— Когда мы разбирали пример Бомбелли, я, кажется, понял, что под корнями в формуле Кардана стоят сопряженные комплексные числа… Ну вот, отсюда и альфы, чтобы получать один за другим все значения корня из комплексного числа! Теперь я как будто разобрался. Значит, Лагранж дал
— 450 —
формулу Кардана не просто в виде результата двух подстановок, а так, как она складывается из самых корней.
И тут альфовый снежок стал стихать.
— Так-с… — произнес наставительно Мнимий. — Это похоже на дело. Но теперь на минутку давайте снова вернемся к квадратному уравнению. Вы этого не бойтесь! Поверьте, что все те крупные ученые, которые это разбирали, тоже не раз вспоминали о квадратном уравнении. Так вот вам еще один вывод для формулы решения квадратного уравнения, причем чрезвычайно полезный. Нам ведь хорошо известно, что по формулам Виеты сумма корней квадратного уравнения (х2 + рх + q = 0) равняется коэффициенту при неизвестном в первой степени с обратным знаком, то есть:
х1 + х2 = — р.
Возьмем еще одно выражение, составленное из тех же корней, только не сумму, а разность, и возведем ее в квадрат:
(x1 — x2)2 = (x1 + x2)2 — 4x1x2 = p2 — 4q
Отсюда сразу можно написать, что
x1 + x2 = — p
x1 — x2 = ± √( p2 — 4q)
Сложим эти два равенства и сейчас же получим известную формулу решения квадратного уравнения. Не так ли?
— Так, конечно, — отвечал Илюша. — Из суммы этих выражений один корень получаем, а из их разности — другой. Все понятно. Выходит, что мы этим способом получили два уравнения первой степени. Раз нам нужно два решения, то мы можем к ним прийти через два уравнения первой степени… То есть я не знаю, всегда ли так должно получаться, но во всяком случае с квадратным уравнением именно так и получается…
— Допустим… — отвечал Мнимий. — Но лучше сказать, пусть так будет вплоть до первого противоречия с этим предположением либо допущением.
— А если встретится противоречие?
— Тогда посмотрим. Попробуем его обойти, а если не удастся, придется видоизменять наше допущение. Когда Лагранж, пытаясь обнаружить общее правило из разных решений алгебраических уравнений, нашел наконец свою замечательную формулу, он заметил, что три корня в ней надо брать в некотором вполне определенном порядке, а это на-
— 451 —
толкнуло его на новые плодотворные опыты. Если взять все три корпя кубического уравнения, то есть х1, х2 и х3, то, если их брать не только в той последовательности, которая оказалась необходимой — вместе с нашими помощницами, альфами, — но и во всех остальных…
— Интересно, — заметил Радикс, — а сколько будет этих всех остальных?
И оба, Радикс и Мнимий, внимательно посмотрели на нашего героя, Илью Алексеевича.
— Остальных последовательностей корней? — неуверенно повторил мальчик. — Не понимаю вопроса… Или, может быть, о порядке вы говорите? Тогда вы меня о перестановках спрашиваете?..
Не отвечая ни слова, Радикс и Мнимий все так же пристально смотрели на Илюшу, который чувствовал себя под их взглядами не в своей тарелке.
— … и уж если это так, — в полной неуверенности продолжал он, — то раз всего три корня, то, как их ни переставляй, выйдет только шесть различных последовательностей. И все.
Опять полная тишина. Вдруг Илюша почувствовал, что в его левой руке оказалась маленькая коробочка, и действительно, это был просто самый маленький Дразнилка с тремя шашками. Только на шашках были изображены символы корней:
Илюша начал машинально двигать шашечки, но ничего нового или интересного не обнаружил. Да, действительно, всего получалось шесть перестановок! Но он это давно знал:
(x1 x2 x3); (x2 x3 x1); (x3 x1 x2);
затем опять получается то же самое. А если переставить две шашки, ну, скажем, x2 и x2, то получатся еще три случая:
(x2 x1 x3); (x1 x3 x2); (x3 x2 x1);