— Понятно.
— Представь себе теперь, что ты бросаешь две монетки. Какова вероятность того, что у тебя выпадут два «орла»? Попробуем усложнить нашу задачу.
— Половина, — отвечал Илюша. — Не все ли равно, сколько монеток?
— Вот то-то, что не все равно! — отвечал, усмехнувшись, Радикс.
— Давай-ка сосчитаем. У тебя две монетки — первая и вторая. Какие могут быть случаи? Во-первых, обе монетки выпадут «орлами», во-вторых — обе «решками», в-третьих — первая «орлом», а вторая «решкой»…
— Ах да! — воскликнул Илюша.
— В-четвертых — первая «решкой», вторая «орлом». Значит, всего может быть четыре комбинации, совершенно равноправные, а отсюда мы заключаем, что вероятность выпадения двух «орлов» при бросании двух монеток равна не половине, а только четверти. А зато вероятность выпадения и «орла» и «решки» сразу равна половине, ибо ты не нумеруешь монетки, а подсчитываешь просто общий результат. Чем больше брать монеток, тем расчеты эти делаются все сложнее и сложнее.
— 467 —
Если возьмем три монетки, то будут такие комбинации (я буду отмечать «орла» буквой «О», а «решку» буквой «Р»):
| 1)ООО | 5) ОРР |
| 2)OOP | 6) POP |
| 3)ОРО | 7) РРО |
| 4)РОО | 8) РРР |
Всего восемь комбинаций. Теперь вероятность выпадения трех «орлов» равна одной восьмой, двух «орлов» — трем восьмым, одного «орла» — тоже трем восьмым. Вероятность того, что ни одного «орла» не будет, равна снова одной восьмой. Числители этих дробей будут: 1—3—3—1, а знаменатель равен их сумме. Одна восьмая — это половина в третьей степени, а числители эти равны коэффициентам при разложении куба суммы. Вот почему эти числа имеют отношение к треугольнику Паскаля. Эти соотношения заметил и указал еще Тарталья, который жил лет за сто до Паскаля.
— Это все ужасно интересно!
— Подобные задачи возникают во многих науках, в частности, и в физике, когда дело касается, например, движения молекул газа. И этим способом разрешают важные и очень сложные проблемы самого разнообразного характера, начиная от контроля при производстве электролампочек или разведения новых пород злаков и кончая самыми трудными проблемами атомной физики. Понятно?
— Как будто я немного понял. Я слышал, как говорят, что «по теории вероятностей» должно случиться то или иное, но я думал, что это шутка.
— Когда шутка, а когда и нет…
— А что такое рассеяние отдельных случаев вокруг средней? Я слышал, но не понимаю — оно не всегда одинаковое?
— Нет, — отвечал Радикс, — конечно, не всегда. Очень легко найти пример двух совокупностей, или распределений, случайных явлений, у которых средняя будет одна и та же, а колебания случайностей вокруг нее будут разными. Представь себе, что на одной географической широте лежат две области, средняя годовая температура которых совпадает. Однако первая область представляет собой остров на море, а другая — часть пустыни среди громадного материка. Ясно, что климат второй области будет резко континентальным, то есть будет характеризоваться резкими колебаниями от жары к морозу, тогда как температура на острове будет сравнительно ровной.
— Ясно, — сказал Илюша. — Мне только не совсем понят-
— 468 —
но, почему температура относится к разряду случайных явлений. Разве можно температуру считать случайностью?
— Я не говорил, что температура есть явление случайного характера. Однако теория вероятностей занимается не только явлениями в точности случайного порядка, как, например, движение молекул раскаленного газа, диффузия и тому подобное; в ее ведении находятся и многие другие явления, где существо той или иной закономерности проявляется не с такой точностью, которую мы наблюдаем в соотношениях абсциссы и ординаты параболы, например, а с некоторыми колебаниями, или рассеянием.
— Значит, — сказал Илюша, — рассеяние может наблюдаться не только вокруг средней, но и вокруг некоторой кривой?
— Разумеется. Вот тебе простой пример. Урожай зависит от осадков. Если осадков будет мало, то есть будет засуха, то хлеба засохнут и урожай будет плохой. Но если осадков будет слишком много, то хлеба начнут гнить на корню и урожай тоже будет неважный. Следовательно, урожай поднимается от нуля вместе с осадками, увеличивается, доходит до максимума, когда осадков выпадает столько, сколько нужно, а затем, если осадков выпадает еще больше, то урожай уже начинает падать. Эту зависимость урожая от осадков нельзя в точности выразить какой-либо кривой (прежде всего потому, что ведь урожай зависит не только от осадков, а еще от целого ряда причин), но приблизительно можно изобразить или выразить хотя бы, например, той же параболой. Для такого примерного выражения (или апроксимации) есть свои способы. Особое свойство таких связей или зависимостей заключается в том, что вокруг некоторой основной тенденции наблюдаются более или менее интенсивные колебания, в силу чего такие зависимости (корреляционные, как у нас говорится) точно выражены быть нe могут и справедливы лишь в общем, в среднем. Только эта «средняя» в данном случае не постоянная, а переменная. Вот как… А кстати, знаешь ли ты конец знаменитой истории насчет мартышки и очков?
— Эту басню Крылова? — сказал Илюша. — Ну конечно, знаю!
— Нет, — отвечал Радикс, — басня — это еще не конец. Конец находится в одной арабской сказке. Говорят, что это неверно, будто бы Шехерезада кончила рассказывать свои сказки в тысяча первую ночь. На самом деле, как я слышал, она еще и потом рассказывала свои замечательные истории. И вот послушай, что она рассказала в тысяча вторую ночь. «Дошло до меня, о счастливый царь, — сказала Шехерезада, — что некогда один старый Павиан пришел к Ворону, поклонился ему и ска-
— 469 —
зал: «Да продлит аллах твои дни, о Ворон! Я пришел к тебе, потому что имею великую нужду».
Борон отвечал: «Я из породы птиц, имя мое Ворон. Я мудрец, писец, чтец и предсказатель, я листаю книгу прошедшего и будущего, я знаю искомое и вижу взыскующего, я толкую сны, открываю клады и черчу гороскопы, я владею тайной и обладаю доказательством. А живу я один век и одно столетие. Что ты хочешь от меня, серая собака?» Павиан отвечал: «Моя госпожа прислала меня к тебе. Ты писец проницательный! Я целую прах у ног твоих и говорю тебе: напиши письмо!» Ворон отвечал: «Уплати мне три дирхема!» А когда деньги были уплачены, Ворон воскликнул: «Слушаю и повинуюсь! Кому и о чем должен я писать?» — «О Ворон, — отвечал Павиан, — моя госпожа вдова, она из породы обезьян, и имя ее Мартышка. Дряхлость пришла к ней, и она в старости слаба глазами стала…» — «Эту басню я уже слышал. Продолжай!» — «Увы мне! — отвечал Павиан. — Увы, покровитель бедных, если ты знаешь эту басню, то мне нет нужды повторять ее. Но слушай, что было дальше и что привело меня к тебе. Когда очки сынов Адама не помогли госпоже моей, то некий могучий Джинн посоветовал ей поискать очки у себя в лесу, а госпожа моя сказала: «О Джинн, отец ужаса! У кого же в лесу могут быть очки?» И тогда страшный Джинн высунул язык из правого глаза я громко захлопал ушами, которые росли у него на месте носа, поднял свое левое копыто, посреди которого сиял адским пламенем его глаз, и прошипел: «Слушан и внимай, о мать обезьян! В лесу очки есть у очковой змеи!»